Средняя скорость движения. Расчеты и примеры.

 
Рассмотрим одну из самых простейших задач, которые можно встретить в школьной программе. Итак немного теории
Средняя скорость движения это отношение полного пути пройденного объектом на общее время затраченное на это путешествие
 
V_sr = \frac{S_{al}l }{t_{all}}
 
Естественно предположить, что если объект часть общего пути прошел за одно время,  другую часть  за другое время, а третью за третье время, то  средняя скорость  будет являтся отношением  всех частей пути на все затраченное время.
 
V_{sr} = \frac{S_1+S_2+....+S_n }{t_1+t_2+...+t_n}
 
А если  известно  например  части пути и скорость объекта на каждом пути ?  Не среднее арифметическое же брать от всех скоростей... хотя очень часто  именно так и поступают впервые большинство учеников.
На самом деле, при известных частях пути и скоростей на участке формула будет следующая
 
V_{sr} = \frac{S_1+S_2+....+S_n }{\frac{V_1}{S_1}+\frac{V_2}{S_2}+...+\frac{V_n}{S_n}}
 
наверняка догадались как она получилась из предыдущей формулы.
 
Если в задании пути буду обозначаться как часть от общего ( например  первая половина пути, 2/3 пути и т.п.) то учитывая  что сумма таких частей будет равна всему пути ( равной единице)
то средняя скорость  будет определятся как
V_{sr} = \frac{1 }{\frac{S_1}{V_1}+\frac{S_2}{V_2}+...+\frac{S_n}{V_n}}
 
Пример: 
Автомобиль проехал первую треть дороги со скоростью 60 км/ч, вторую треть дороги со скоростью 120 км/ч, третью треть дороги со скоростью 40 км/ч. найдите среднюю скорость.
Решение:
\frac{1 }{\frac{1}{3*60}+\frac{1}{3*120}+\frac{1}{3*40}}=60
 
Ответ: 60 км/час
 
 
И последний вариант формулы на среднюю скорость это когда известно время и скорость на каждом из участков.
 
V_{sr} = \frac{V_1t_1+V_2t_2+....+V_nt_n }{t_1+t_2+...+t_n}
 
Правда есть еще четвертый вариант, но он практически никогда не встречается в задачах. Это когда встречаются комбинированные данные, например: Пешеход, преодолевает путь из точки А в точку Б. Первую половину пути пешеход прошел со скоростью 5 км/час а вторую половину пути за 1 час. Какое расстояние  между А и Б, если средняя скорость пешехода, со всеми остановками и перекурами, была 3 км/час
 
Смотрим вот на эту формулу  V_sr = \frac{S_{al}l }{t_{all}}  и думаем
 
Части пути нам известны, то есть общее расстояние нам известно и принимается за единицу ( половина пути+половина пути равна единице пути)
Теперь со временем
На первом участке время легко вычислить ( половину пути разделить на 5 км/ч). Получаем одну десятую пути.  Не пугайтесь что получилось "время  равно одной десятой пути". Оно потом понадобится..
Время на втором участке известно и равно 1 час
 
Напишем нашу формулу по полученным данным
 
V_{sr} = \frac{0.5S_{all}+0.5S_{all} }{\frac{0.5S_{all}}{5}+1}
 
 
Выразим расстояние от точки А до точки Б через среднюю скорость и получим
 
V_{sr}= \frac{10S_{all}}{S_{all}+10};S_{all}=\frac{V_{sr}}{1-\frac{V_{sr}}{10}}
 
Поставим значение средней скорости  получим что общее расстояние которое преодолел пешеход равно  4 километра и почти 286 метров
 
Сложновато? Зато интересно и увлекательно.
 
Из последней формулы  вытекает  "парадоксальный" вывод: При средней скорости приближающейся к 10 км/час  расстояние между точками А и Б становится неприлично большим и уходит в бесконечность, а при 11 км/час расстояние вообще  становится отрицательным.
 
Что хотелось бы по этому поводу сказать. не всегда надо бездумно подвергать анализу последнюю формулу, особенно когда знаменатель  обращается в ноль.
Взяв предыдущую формулу  - мы бы увидели что  при средней скорости в 10 км/ч , расстояние просто будет неопределено. То есть при заданных условиях средняя скорость никак не может быть больше 10 км/час.