Экономия на материале при проектировании цилиндрического объекта

Значение указанного параметра
ДА, если ёмкость с открытым верхом

Параметры цилиндрической фигуры

Поставим себе следующую задачу. Необходимо построить  на даче бак в виде цилиндра, который бы вмещал 3 кубометра воды и условием что бы затраты на металл для бака были минимальны.

Кто считает, что какая разница каких размеров (высота и радиус) строить бак, то тот глубоко заблуждается и как следствие платит за материал для бака бОльшую сумму.

Есть оптимальные размеры бака для любого заданного объема. Эта же задача формулируется в математике так - найти параметры цилиндра заданного объема, при минимальной площади поверхности.

Давайте определим их.

Итак у цилиндра есть два базовых параметра это радиус радиус основания(или диаметр диаметр) и высота высота

 

Объем объем такой ёмкости определяется как

объем цилиндра

Общая площадь площадь поверхности поверхности цилиндра, то есть сумма площадей торцевых частей и площади боковой части равна

площадь целозамкнутого цилиндра

Если бак или цилиндр не имеет одной торцевой крышки, например открытая ёмкость для воды то

площадь открытого цилиндрического бака

Нам надо определить параметры при которых пплощадь поверхности будет минимальна.

Используем свойство производной функции, которая говорит о том что взяв производную от какой либо функции  и приравняв её к нулю, мы сможем найти все максимумы и минимумы этой функции на указанном отрезке.

Только прежде выразим высоту цилиндра через объем и радиус

высота цилиндра через объем

И тогда

 площадь целозамкнутого цилиндра

производная цилиндра

Приравняв производную к нулю получим 

минимальная поверхность

откуда 

минимальная поверхность

 

В результате вычислений мы получим, что для замкнутого с двух торцевых сторон бака ёмкостью 3 кубометра нам необходимо  его строить с такими параметрами

Радиус основания =0.782 метра

Высота цилиндра = 1.563 метра

А что если у нас одного торца не будет. то есть мы проектируем открытый бак?

Тогда площадь поверхности

площадь открытого бака

производная цилиндра

И тогда 

минимальная поверхность открытого бака

При открытом баке оптимальные размеры можно не рассчитывать.  Просто считать по формуле 

объем цилиндра и принимая что высота и радиус должны быть одинаковы.

Удачный расчетов !