1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (2 голосов)

Нелинейная регрессия. Парабола второго порядка

Значения аргументов X, через пробел
Значения функции Y=f(X), через пробел
   
Исходные данные Xi=Yi
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула

Понятие регрессии

Зависимость между переменными величинами X и У может быть описана разными способами. В частности, любую форму связи можно выразить уравнением общего вида у=  f(х), где у рассматривают в качестве зависимой переменной, или функции от другой — независимой переменной величины х, называемой аргументом. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов называется регрессией.

Термин «регрессия» (от лат. regressio — движение назад) ввел  Ф. Гальтон, изучавший наследование количественных признаков. Он обнаружил. что потомство высокорослых и низкорослых родителей возвращается (регрессирует) на 1/3 в сторону среднего уровня этого признака в данной популяции. С дальнейшем развитием науки, этот термин утратил свое буквальное значение и стал применяться для обозначения и корреляционной зависимости между переменными величинами Y и X.
 
Различных форм и видов корреляционных связей много. Задача  исследователя сводится к тому, чтобы в каждом конкретном случае выявить форму связи и выразить ее соответствующим корреляционным уравнением, что позволяет предвидеть возможные изменения одного признака Y на основании известных изменений другого X, связанного с первым корреляционно.
 

Уравнение параболы второго рода

 
Иногда связи, между переменными Y и X можно выразить через формулу параболы
 
y=a+bx+cx^2
 
где a,b,c - неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных  измерениях  Y и X
 
Для этого мы должны будем решить  систему линейных уравнений
 
\sum{y}=an+b\sum{x}+c\sum{x^2}\\\\\sum{xy}=a\sum{x}+b\sum{x^2}+c\sum{x^3}\\\\\sum{x^2y}=a\sum{x^2}+b\sum{x^3}+c\sum{x^4}
 
можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся
 
a=\frac{1}{D}(\sum{y}\sum{(x-x_s)^4}-\sum{(x-x_s)^2}\sum{y(x-x_s)^2}
 
b=\frac{\sum{(x-x_s)y}}{\sum{(x-x_s)^2}}
 
c=\frac{1}{D}(n\sum{(x-x_s)^2y}-\sum{(x-x_s)^2}\sum{y}
 
где определитель  системы  D=(n\sum{(x-x_s)^4}-(\sum{(x-x_s)^2})^2
 
 
n - число членов ряда регресии
y - значения переменной Y
x - значения переменной X
xсредняя величина  ряда X
 
Если вы будете пользоваться этим ботом  через XMPP клиента,  то синаксис такой
regress ряд X;ряд Y;2
где 2 - показывает что регрессию  рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка
 
Что ж, пора проверить наши расчеты.
 
Итак есть таблица 
X Y
1 18.2
2 20.1
3 23.4
4 24.6
5 25.6
6 25.9
7 23.6
8 22.7
9 19.2
 
надо определить коэффиценты a, b, c
 
Не смотря на то, что есть функция regress для пользователей XMPP клиентов , нам удобнее вводить данные через WEB интерфейс.
 
В результате получим ответ
 
Исходные данные Xi=Yi
1=18.2 2=20.1 3=23.4 4=24.6 5=25.6 6=25.9 7=23.6 8=22.7 9=19.2
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула
 
Удачных расчетов!