Парабола третьего  порядка. Нелинейная регрессия

Значения аргументов X, через пробел
Значения функции Y=f(X), через пробел
Исходные данные Xi=Yi
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула
Как мы уже заметили в предыдущй статье, данные, которые мы получаем в результатае наблюдений за какими то процессами, можно с достаточно низкой погрешностью представить в виде какой либо кривой.  В этой статье мы рассмотрим регрессионный анализ, выражаемый параболой третьего порядка.

 

 

y=a+bx+cx^2+dx^3

 
где a,b,c,d- неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных  измерениях  Y и X
 
Для этого мы должны будем решить  систему линейных уравнений
 
\sum{y}=an+b\sum{x}+c\sum{x^2}\\\\\sum{xy}=a\sum{x}+b\sum{x^2}+c\sum{x^3}\\\\\sum{x^2y}=a\sum{x^2}+b\sum{x^3}+c\sum{x^4}
 
можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся
 
a=\frac{1}{D_1}(\sum{y}\sum{(x-x_s)^4}-\sum{(x-x_s)^2}\sum{y(x-x_s)^2}
 
b=\frac{1}{D_2}(\sum{(x-x_s)y{\sum{(x-x_s)^2)
 
c=\frac{1}{D_1}(n\sum{(x-x_s)^2y}-\sum{(x-x_s)^2}\sum{y}
 
d=\frac{1}{D_2}(\sum{(x-x_s)^2}\sum{(x-x_s)^3y}-\sum{(x-x_s)^4}\sum{(x-x_s)y}
 
где определители системы  
 
 
D_1=(n\sum{(x-x_s)^4}-(\sum{(x-x_s)^2})^2  
 
D_1=(\sum{(x-x_s)^2}\sum{(x-x_s)^3}y-\sum{(x-x_s)y}\sum{(x-x_s)^4}
 
n - число членов ряда регресии
y - значения переменной Y
x - значения переменной X
x- средняя величина  ряда X
 
 
Если вы будете пользоваться этим ботом  через XMPP клиента,  то синаксис такой
regress ряд X;ряд Y;2
где 2 - показывает что регрессию  рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка
 
Что ж, пора проверить наши расчеты.
 
Итак есть таблица 
X Y
5 78.0
6 76.1
7 73.6
8 72.9
9 70.8
10 69.4
11 69.3
12 69.0
13 69.1
 
надо определить коэффиценты a, b, c,d
 
Не смотря на то, что есть функция regress для пользователей XMPP клиентов , нам удобнее вводить данные через WEB интерфейс.
 
В результате получим ответ
 
Удачных расчетов!