Уравнение Ферхюльста

Значения аргументов X, через пробел
Значения функции Y=f(X), через пробел
Максимальный предел развития N
Изначальное количество в сообществе
 
Исходные данные Xi=Yi
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула

 

В жизни, при развитии того или иного объекта в замкнутом пространстве,  всю жизнь его можно в большинстве случаев свести к следующим этапам.

1. начальное развитие

2. бурный рост

3. замедление роста и переход в равновесное состояние

 

По такому плану развиваются все живые существа в замкнутой областе/ареале при наличии достаточной пищи.

Кривая, которая показывает динамику изменения таких сообществ называется логистической кривой.

 

Графически подобная кривая выражается с помощью уравнения которое получило название Ферхюльста

y=\frac{N}{1+10^{a+bt}}+C

 
где y- учитываемый признак
t-время,прошедшее от начальной, или базисной(C) величины признака, с которой начато его измерение, до предельной в данных условиях величины N, котрой он достиг за время t.
a,b- параметры уравнения, определяющие характер логистической кривой.
 
Путем логарифмического преобразования это уравнение приобретает следующее выражение:
lg(\frac{N}{y-c}-1)=a+bt
Обозначив \frac{N}{y-c}-1 через z, получаем уравнение линейной регрессии:
lg(z)=a+bt
 
Что бы решить её, нам потребуется решить систему уравнений
\sum{lg(z)}=an+b\sum{t}\\\\\sum{tlg(z)}=a\sum{t}+b\sum{t^2}
 
Решая эту систему относительно параметров a и b, получаем следующие формулы:
 
a=\frac{1}{D}(\sum{lg(z)}}\sum{t^2}-\sum{t}\sum{tlg(z)})
 
b=\frac{1}{D}(n\sum{tlg(z)}-\sum{t}\sum{lg(z)})
 
 
где определитель системы  
D=n\sum{t^2}-(\sum{t})^2  
 
n - число членов ряда регресии
y - значения переменной Y
t - значения переменной X
 
Если вы будете пользоваться этим ботом  через XMPP клиента,  то синаксис такой
regress ряд X;ряд Y;6
где 6 - показывает, что регрессию  считаем как логистическую кривую.
 
Что ж, пора проверить наши расчеты.
Итак есть таблица 
 
t y
0 5
1 20
2 100
3 300
4 350
5 380
6 385
7 389
 
надо определить коэффиценты a, b
 
 
Удачных расчетов!