1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 голосов)

Правила деления на целые числа. Девять.

 
В  данной статье мы рассмотрим то, с чем сталкиваются  люди после изучения цифр, и операций умножения, сложения, вычитания. 

 

Многие задаются вопросом, а насколько связаные цифры между собой? Есть ли какая то красота в скоплении цифр? 

Можно сказать что в этих вопросах Вы не одиноки. Еще Пифагор интересовался красотой цифр, да так плотно, что была создана  философия взаимосвязи  цифр и окружающего мира. Конечно  она была не безупречна, там отсутствовали отрицательные числа, не говоря уже о иррациональных  или комплексных, но тем не менее, даже та часть чисел ( целых и рациональных) дала массу теорем и гипотез на протяжении следующих столетий: диофантовы уравнения, теорема Ферма и много другое.....

Учение о целых числах и их взаимосвязи называется теорией чисел и мы коснемся только небольшой части, которая несоменно расширит наш кругозор не взрывая наш мозг, и позволит применять полученные знания в жизни... 

Задача первая

Вам дали следующие три варианта

Проверка  на делимость. Пример1

Проверка  на делимость. Пример2

Проверка  на делимость. Пример3

Определить без калькулятора, в уме, какой из этих трех вариантов неверен. Взяли ручку и карандаш?

Не стоит, зная некоторые простые правила, Вы легко решите данную задачу.

В моем жизенном опыте,  ребенок был поражен как быстро была найдена ошибка в сложении и вычитании многозначных чисел. 

Рассказать как?

Для начала небольшое отступление. Как узнать, какое целое число делиться без остатка на девять?

Ну например, число 76201 делится без остатка на 9?

Запишем число 76201=7*10000+6*1000+2*100+0*10+1

а теперь вот так

76201=7*(9999+1)+6*(999+1)+2*(99+1)+0*(9+1)+1

и совсем размашисто

76201=7*9999+6*999+2*99+0*9+7+6+2+0+1

и что же получилось? Первые 4 слагаемых несоменно деляться на 9 без остатка и у нас остались слагаемые

7+6+2+0+1=16

делится ли это число на 9? Нет конечно А следовательно и число 76201 на 9 нацело не делится.

Кроме этого решения мы еще получили еще и важное "побочное"

если от числа отнять число 7  то число будет целится нацело. Откуда мы это взяли? Как же, взгляните наверх..

"Стянем" число 16 до одной цифры =1*10+6=1*(9+1)+6=9+1+6=>7

И таким образом правило деления на девять таково, Если сумма всех цифр данного числа делится на 9 (или равно нулю), то само число делится нацело на девять.

Обратите внимание на то, что написано в скобках. Нулю сумма может быть равна когда вы "стягиваете" полученную сумму   (даже промежуточную) до одного числа. Например, можно оставить 9, а можно "стянуть" в 0 - для этого правила такая уловка позволительна и намного упрощает вычисления.

То есть учтите, что 0 и 9  это одно и тоже.

Смотрите:  Какой остаток от деления на девять будет у числа 8899172? Применяя правило "топорно" и в лоб, нам пришлось бы складывать 8+8+9+9+1+7+2 и проверять это всё на правило деления на девять.

Есть изящный путь: все девятки, просто игнорируем а остальные сила группируем так что бы было как больше девяток, которые тоже "обнуляем" Ну вот как то так

8899172=>8800172=>9800009=>0800000

то есть остаток равен 8. Можете проверять.

И если Вам всё ясно, то конечно же вы теперь без труда решите задачу с чего мы и начинали статью

Проверка  на делимость. Пример1

21163455 "стягиваем" до одной цифры 211(6+3)(4+5)5 =>2115=>9=>0

18266374 =>(1+8)26(6+3)74=>2674=>(2+7)64=>10=>1

2897081=>(2+7)890(8+1)=>89=>8

Итак  получилось что 0-1=8. 

Учитывая равенство нуля и девятки  последнее выражение можем написать как 9-1=8. Правильно? Да. Значит равенство верное.

Проверка  на делимость. Пример2

10431101+3906-32901=10409000

1073+99-69=59

2+0-6=5

Заменяем 0 на 9 и тогда у нас получается снова равенство 2+9=6=5

Проверка  на делимость. Пример3

876429+9709919=1099512

8964+71=18

18+8=0

0+8=0

Вот, оно наше неправильное решение!! Равенсто неверное, а значит именно где то здесь допущена ошибка.

При совсем небольшой сноровке Вы можете проверять у своих чад или сверстников, домашние задания с небывалой скоростью.

Правило деления на девять и определения остатка  можно использовать еще и при умножении

Какой остаток при делении на девять  будет при умножении двух чисел 12345*54321

"Стягивая" до одной цифры получим 6*6. Это таблица умножения  и равно 36 . А значит число 12345*54321 делится на девять без остатка.

Красиво? Быстро? Удобно? 

То-то же :)

Есть еще один калькулятор, который решает подобные задачи. Вам стоит его посмотреть - Остаток числа в степени по модулю