Деление на целые числа. Два, три и одинадцать.

Продолжим наше путешествие в теорию чисел и рассмотрим правила деления без остатка на такие числа как два, три и одинадцать.

Самое простое правило это деление на два.

Если произвольное целое число  заканчивается на одну из цифр 0,2,4,6 и 8  то оно делится  без остатка на 2.

Доказательство? Оно очень простое.

представим трехзначное число АБВ как А*100+Б*10+В

10 делится на 2, 100 делиться на 10, а значит и на 2 тоже.

Тогда число АБВ делится на 2 нацело если В делится на 2. А таких чисел, как мы уже сказали всего 4-ре: 0,2,4,6 и 8.

Так же можем взять четырехзначное, пятизначное и другое многозначное число доказательство там такое же.

Теперь рассмотрим правило деления на 3. Оно тоже не очень сложное и очень похоже на правило деления на девять. Правила деления на целые числа. Девять

Возьмем четырехзначное число  АБВГ и представим его в  виде 1000*А+100*Б+10*В+Г

представим  10 как 9+1, 100 как 99+1, 1000 как 999+1

и тогда число АБВГ можно представить как 999*А+99*Б+9*В+А+Б+В+Г

9 делится на 3, 99 делится на 9, а значит делится и на 3.. и так далее..

Таким образом получается,  что правило деления на 3 следующее: Число делится на 3 без остатка, если сумма цифр его составляющих  также делится на три.

Число 123 делится на 3, так как сумма его циф 1+2+3=6 также делится на 3

а число 235 не делится, так как сумма цифр 2+3+5=10 не делится на 3

И последнее правило. Деление многозначного числа на одинадцать без остатка.

Само правило тоже очень простое, а доказывается оно очень просто

Возьмем четырехзначное число  АБВГ и представим его в  виде 1000*А+100*Б+10*В+Г

10 представим как 11-1

100 представим как 9*11+1

1000 представим  как 91*11-1

10000 представим как 1111*9+1

и так далее

Как можно заметить числа 11,9*11,91*11,111*9 делятся без остатка на 11

и у нас остается  следующее, что  выражение -А+Б-В+Г  должно делится на 11

То есть общее правило деления многозначного числа на 11 без остатка таково: Если разница сумм цифр стоящих на четных  местах многозначного числа  и сумм цифр стоящих на нечетных местах  равна 0 или делится на 11  нацело , то само многозначное число делится на одинадцать без остатка

Например число 2293434 на 11 делится нацело так как 2+9+4+4 -(2+3+3)=11

Нам осталось теперь рассмотреть самое сложное правило деления нацело для однозначного числа, и это число - семь.  Но это будет уже в другой статье.

А пока  посмотрите  следующие материалы Остаток числа в степени по модулю  и Правила деления на целые числа. Девять