1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Логарифм по комплексному основанию

Логарифм числа по комплексному основанию
Основание логарифма
Число

 

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию

Появление логарифма

Прежде, чем мы начнем речь непосредственно о логарифмах, хотелось  бы поговорить о степенях чисел и их свойствах.

Действия над степенями осуществляются по следующим правилам и они Вам должны быть  хорошо известны

умножение степеней           

?{ab}^p=a^pb^p

(a^p)^q=a^{pq}

\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}

\frac{a}{b}^p=\frac{a^p}{b^p}

где a,b,p и q -произвольные числа.

В 16 веке когда возникла насущная потребность  рассчитывать многозначные числа, чаще всего для астрономии и мореплавания, возник вопрос "А можно ли заменить умножение и деление многозначных чисел на более легкие операции сложения и вычитания?"

Взглянув на выше приведенные формулы , мы замечаем что то похожее в  двух  формулах

умножение степеней   и        \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}

Осталось теперь превратить произвольное многозначное число в число вида a^p

Для некоторых чисел  это известно 8=2^3    27=3^3  и так далее, то есть любое число можно выразить в подобном виде.

число a  - называется основание степени,  p-степень числа

Итак у нас все готово для того что бы  мы могли "заменить" умножение сложением, а деление  - вычитанием.

Для этого придуман логарифм, обладающим таким свойством что  a^{log_ab}=b

a^{log_ab}  

a - основание логарифма, которое равно численно основанию степени.

8=2^3 => log_2{8}=3

27=3^3 =>log_3{27}=3

Так вот, с 16-ого века, для решения  задач, стали применять предварительно рассчитанные таблицы логарифов, для определенных чисел. В мои школьные годы мы использовали таблицы Брадиса.

Сейчас, при тотальной информатизации населения и товаров, наверное только наручные часы не умеют автоматически рассчитывать логарифмы.

Логарифмы обладают следующими свойствами

{log_a(uv)}=log_au+log_av

{log_a(\frac{u}{v})}=log_au-log_av

{log_a(u)}^k=k*log_au

{log_a(u)}^k=k*log_au

Последняя формула примечательна тем, что с помощью можно рассчитывать логарифм любого числа (кроме нуля) и любого основания, в том числе и комплексных чисел

b- это основание логарифма и оно может быть любым. Поэтому мы можем взять за основу число e=2.718... и получим  что 

log_a(u)=\frac{ln(u)}{ln(a)}

Натуральные логарифы комплексных чисел мы считать уже умеем, поэтому рассчитать логариф любого числа по любому основанию не вызовет никаких затруднений.

В основании можно кроме цифровых значений  можно ввести две тестовых константы e(2.718281828459) и pi(3.1415926535898)

Если введет e - то получите значение натурального логарифма

Синтаксис

logx  основание число

число - численное( комплексное выражение, произвольной формы) или число

основание  - произвольное комплексное или численное выражение или какое либо значение

число и основание должны между собой быть разделены хотя бы одним пробелом.

Примеры

Рассчитать логарифм  числа 2+i по основанию 3

Пишем Logx 3 2+i

Получаем ответ

Логарифм числа 2+1i
По основанию 3
Равен = 0.732486760359+0.4220302410443i

Чему равен логарифм  мнимой единицы, если основание единицы тоже мнимая единица?

Пишем logx i i

Ответ не замедлит появится

Логарифм числа 0+1i
По основанию 0+1i
Равен = 1
 
Это и логично так как 
i^1=i

Логарифм числа, где основание и значение являются комплексно-сопряжеными  числами 1+i и 1-i соответственно

logx 1+i 1-i

Логарифм числа 1-1i
По основанию 1+1i
Равен = -0.6740320278365-0.7387021222729i
 
Таким образом бот помогает считать любые значения и выражения по любому основанию.
Удачи в расчетах!