1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 голосов)

Свойства определителей квадратных матриц

 

Работая с матрицами, никогда не лишне знать об их основных свойствах. Иногда это помогает однозначно определить детерминант матрицы, не прибегая к автоматическим расчетам, наподобие Расчет определителя комплексной матрицы онлайн

 

Свойство 1

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т. е.
 
смена столбцов и строк в матрице

Свойство 2

Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.
 
Перестановка строк/столбцов в матрице
 

Свойство 3

Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
 

Свойство 4

Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. 
 
умножение матрицы на число
 

Свойство 5

Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случай предыдущего (при k = 0).
 

Свойство 6

Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.  Это следствие двух свойств 4 и 3.
 

Свойство 7

Если каждый элемент n-ro столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце, или соответственно в n-й строке, имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стойящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. 
 
свойства определителя
 

Свойство 8

Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.
 
property determinant
 
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.
Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
 
Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.
 
 
В данной статье, алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, которой обозначен сам элемент.
 

Свойство 9

Определитель 
 
Determinant matrix
 
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения/
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
 
matrix one
 
matrix two
 
matrix three
 
matrix four
 
matrix propetry five
 
matrix property six
 
Есть еще одно интересное свойство определителя матрицы в материале Определитель матрицы. Альтернативный взгляд.