Результат вычисления по элементам цепной  дроби

Элементы цепной дроби
Полученный результат вычисления цепной дроби

 

С первого раза не очень понятно что же будет делать наш бот. Судя по популярности запроса  на материал Непрерывные, цепные дроби онлайн пользователям  интересна эта тема и мы её постраемся дополнить.

Задача, которая стоит перед нами - проста. Вычислить результат непрерывной дроби, если задана сама цепочка этой дроби. Еще раз напомним, что же такое непрерывная или по другому цепная дробь.

Любую дробь можно выразить в виде конечной или бесконечной непрервыной дроби имеющий вид 

a_0+frac{1}{a_1+cfrac{1}{a_2+cfrac{1}{a_3+...}}}

 

Цепную дробь обычно записывают в виде Continued fraction

Таким образом если нам дана цепочка элементов дроби, мы можем всегда рассчитать чему же  будет равна изначальная дробь.

Где же это может пригодится? На мой взгляд, я бы как минимум воспользовался этим ботом для написания математического реферата или курсовой, так как тема комплексных цепных дробей, вообще на просторах интернета не представлена. Хотя наверняка где то в математических институтах подобные задачи решались и решаются.

Синтаксис

Функция, которая рассчитывает результат имеет вид

cd_i периодическая часть;НЕ периодическая часть  цепной дроби

Периодическая часть - часть элементов цепной дроби которая имеет цикл повторения

Непериодическая часть - часть элементов цепной дроби которая не имеет цикла повторения

Убедительная просьба: Если уж пишете мнимые единицы то обозначайте их знаком i (ай) а не j(джи). Будьте внимательнее в написании исходных данных!!.

Примеры

Итак у нас есть цепная дробь которая имеет одно значение - единицу(1) 

1+frac{1}{1+cfrac{1}{1+cfrac{1}{1+...}}}

Она повторяется каждый раз? Да.

тогда так и пишем cd_i 1

Результат будет известным - сумма равна 1.6180339887499

Это известное значение. Так называемое "золотое сечение" о  котором немного написано в статье Расчет произвольного числа ряда Фибоначчи онлайн

 


Вторая задача попробуем  посчитать чему равна вот такая дробь

4+frac{1}{4+cfrac{1}{8+cfrac{1}{4+cfrac{1}{8+cfrac{1}{4+..}}}}}

Мы видим что тут есть две части периодическая (4,8) и непериодическая часть 4 (самый первый элемент)

попробуем написать cd_i 4 8;4

Сумма равна 4.2426406871193. Если мы эту сумму возведем в квадрат получим число 18.

Это и есть наш результат.


Продолжим наши эксперименты теперь в комплексных числах.

i+frac{1}{-i+cfrac{1}{i+cfrac{1}{-i+...}}}

 

Чему же оно равно?

Сумма равна 0+1.6180339887499i. Получили то же "золотое число"  только в поле комплексных чисел


Продолжим

Чему равна цепная дробь вида

i+frac{1}{1+cfrac{1}{i+cfrac{1}{1+...}}} =?

 

Бот нам дал ответ ответ 

сумма равна 0.6248105338436+1.3002425902199i

или  в другом виде ( хотя не уверен что в 15 или 16 разряде есть 100% совпадание)

frac{2}{sqrt{2+2sqrt{17}}}+frac{2+sqrt{2+2*sqrt{17}}}{4}i


Интересное свойство проявляют цепные дроби если элементом становится иррациональное число например корень из двух

Результирующая дробь имеет вид корень из двух плюс корень из трех

Если же элементом непрерывной дроби  становится корень из трех то результирующая дробь равна sqrt{frac{5+sqrt{21}}{2}}=2.1889010593168


Чему равна результирующая дробь если каждый элемент дроби равен корень из двух плюс один ?

результат цепной дроби корень из двух плюс один

 


Чему равна дробь если в виде цепной дроби она имеет мнимую единицу ?

Бот дает значение 0, на самом деле это не очень корректно, там получается на второй операции, деление на ноль и неопределенность, но если мы будем приближаться к мнимой единице, справа или слева, все равно, то увидим что результат стремится к нулю.


Очень интересна  периодическая дробь с комплексно сопряжеными элементами (1+i, 1-i)

i+frac{1}{1+cfrac{1}{i+cfrac{1}{1+...}}} =?

Пишем cd_i 1+i 1-i

и получаем  сумма равна 1.3660254037845+1.3660254037844i

Интересность в том, что если мы  построим дробь поменяв элементы местами (1-i, 1+i)  результат получим комплесно сопряженный, то есть 1.3660254037845-1.3660254037844i

Вторая особенность в  том, что если  два элемента дроби комплексно-сопряжены и между действительной  и мнимой частью  есть отношение frac{Re}{Im}  то такое же отношение  будет  и в отношении действительной и мнимой частью  результирующей дроби.

Ну и само число 1.3660254037845 равно вот такому выражению  frac{2}{sqrt{2+2sqrt{17}}}+frac{2+sqrt{2+2*sqrt{17}}}{4}i

 

Вообщем очень много можно подчерпнуть из непрерывной дробей в комплексной плоскости. Было бы время и желание.

Ну и на затравку. Я утверждаю  что каждое вещественное число  возможно представить в виде таких двух комплексно сопряженных чисел, что каждое из них возможно представить в виде цепной дроби, где каждый элемент будет комплесно-сопряжен с другим элементов второй цепной дроби.

Доказательство истинности или ошибочности моего утверждения, оставляю на Ваше усмотрение.