1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Деление многочлена в комплексном поле ( Horner method )

Коэффициенты многочлена разделенные пробелами
Коэффицент C в биноме вида x-C

 
Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение
Рассмотрим процедуру деления многочлена вида

 

многочлен

на бином вида  бином

результат  деления  есть функция вида

результат деления многочлена

Такой результат получается  только в  результате деления исходного  многочлена на бином без остатка.

В общем же случае говорится, что функцию f(x)  можно  представить в виде f(x)=q(x)(x-c)+r

где r - это остаток от деления.

Коэффициенты функции q(x)  рассчитываются по реккурентым формулам

b_0=a_0

 

r=cb_{n-1}+a_n

Схема Горнера очень удобна своей простой и отсутствием функции деления.  Это позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения, а также решать целочисленные уравнения, без каких либо машинных(компьютерных) погрешностей.

Кроме  этого, эта же схема позволяет решать задачу  определения значения функции при каком либо значении. "Фи!" - скажете Вы. "Это же элементарно, любой калькулятор это может".

да конечно, поставивив вместо неизвестного x необходимое значение мы получим нам нужный результат, но какой ценой?

Нам придется  возводить значения в степень, что несомненно внесет свою погрешность в расчеты.

Это  явно проявляется при работе в поле комплексных чисел, при делении многочлена на комплексный бином.

Нам проще воспользоватся теоремой Безу, которая гласит: Остаток r от деления многочлена на f(x)  на линейный двучлен бином равен значению многочлена f(x) при x=c

Бот созданный на этом сайте, позволяет Вам решать  поставленную задачу методом Горнера, не только для действительных чисел, но и для комплексных.  Это расширяет возможности применения бота и позволяет более полно исследовать функцию.

Синаксис

Для  пользователей XMPP клиентов

horner коэффициенты полинома; значение с

 

Теперь рассмотрим  примеры.

исходный многочлен  разделить с остатком  линейный  двучлен

Пишем коэффициенты 2 0 -3 2 и через точку запятой -2. Надеюсь понятно почему пишем -2, а не+2 ?

Получаем ответ

Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

 

Следующий пример  исходный полином тот же, но значение С будет комплексным например 1+i

Пишем коэффициенты 2 0 -3 2 и через точку запятой 1+i

Получаем

Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

 

Таким образом мы можем писать любые значения, в том числе и комплексные,  в коэффицентах как делимого полинома так и делящего бинома

Удачных расчетов!