Разложить многочлен по степеням

Разложить многочлен по степеням

Коэффициенты многочлена разделенные пробелами
Коэффицент C в биноме вида x-C
Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разложим по степеням вида
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение

В данном материале мы рассмотрим как можно разложить произвольный многочлен от одной переменной по степеням

Практические задачи, которые попадаются в учебниках и которые можно решить с помощью бота, выглядят вот так:

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)

или 

Разложить многочлен по степеням x многочлен f(x-3) где  f(x)=x^5-5x^4-4x^3+2

И тот, и другой пример можно решить используя  метод Горнера , только необходимо этот метод применить столько раз, сколько имеет максимальное значение степени  при неизвестном.

Сначала рассмотрим последний пример

Разложим по методу Горнера  заданный многочлен на вот такое значение (x-3)

Почему стоит минус, а не плюс как в исходной задаче, спросите Вы. Не торопитесь, всему своё время.

\(\cfrac{x^5-5x^4-4x^3+2}{x-3}=x^4-2x^3-10x^2-30x^1-90-\cfrac{268}{x-3}\)

 

Запомним  остаток -268

и разделим уже полученный многочлен  x^4-2x^3-10x^2-30x^1-90  опять на (x-3)

получим x^3+x^2-7x-51 и остаток -243

Еще раз проделаем операцию деления

получим x^2+4x+5 и остаток -36

Еще раз проделаем операцию деления

получим x+7 и остаток 26

Еще раз проделаем операцию деления

получим x и остаток 10

Еще раз проделаем операцию деления

получим ----- и остаток 1

Теперь составим из наших остатков вот такой многочлен

f(x)=(x-3)^5+10(x-3)^4+26(x-3)^3-36(x-3)^2-243(x-3)-268

Вот это нам будет считать бот автоматически, а  две последующие строки мы делаем вручную

Теперь  заменим x=x+3  и получим

f(x+3)=x^5+10x^4+26x^3-36x^2-243x-268

Вот и всё. Поняли почему мы раскладывали множитель на (x-3) а не  (x+3) ?

Бот выдает результирующий многочлен с несколько избыточным количеством скобок. Не думаю что это у Вас вызовет какое либо раздражение.

Разложение по степеням  многочлена  может осуществляется так  же и в комплексной плоскости, то есть все коэффициенты могут быть комплексными числами.

Давайте рассмотрим пример первый

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)

Логично предположить что нам числитель x^3+2x-3 необходимо разложить по степеням (x+3)

получим результат https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=(x-(-3))^3+(-9)*(x-(-3))^2+(29)*(x-(-3))^1+(-36)

и наш ответ будет такой 

\(f(x)=\cfrac{1}{x+3}-\cfrac{9}{(x+3)^2}+\cfrac{29}{(x+3)^3}-\cfrac{36}{(x+3)^4}\)

Если Вы попали на эту страницу, ища ответ на вопрос наподобие вот этого "как разложить в произведение множителей число  1800"  то Вам несомненно стоит прочитать материал Простые множители. Теория чисел

Удачных расчетов!

Поиск по сайту