Заданный многочлен имеет вид |
|
если разложим по степеням вида |
|
Получим многочлен |
|
В данном материале мы рассмотрим как можно разложить произвольный многочлен от одной переменной по степеням
Практические задачи, которые попадаются в учебниках и которые можно решить с помощью бота, выглядят вот так:
Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)
или
Разложить многочлен по степеням x многочлен где
И тот, и другой пример можно решить используя метод Горнера , только необходимо этот метод применить столько раз, сколько имеет максимальное значение степени при неизвестном.
Сначала рассмотрим последний пример
Разложим по методу Горнера заданный многочлен на вот такое значение
Почему стоит минус, а не плюс как в исходной задаче, спросите Вы. Не торопитесь, всему своё время.
\(\cfrac{x^5-5x^4-4x^3+2}{x-3}=x^4-2x^3-10x^2-30x^1-90-\cfrac{268}{x-3}\)
Запомним остаток -268
и разделим уже полученный многочлен опять на
получим и остаток -243
Еще раз проделаем операцию деления
получим и остаток -36
Еще раз проделаем операцию деления
получим и остаток 26
Еще раз проделаем операцию деления
получим и остаток 10
Еще раз проделаем операцию деления
получим ----- и остаток 1
Теперь составим из наших остатков вот такой многочлен
Вот это нам будет считать бот автоматически, а две последующие строки мы делаем вручную
Теперь заменим и получим
Вот и всё. Поняли почему мы раскладывали множитель на а не ?
Бот выдает результирующий многочлен с несколько избыточным количеством скобок. Не думаю что это у Вас вызовет какое либо раздражение.
Разложение по степеням многочлена может осуществляется так же и в комплексной плоскости, то есть все коэффициенты могут быть комплексными числами.
Давайте рассмотрим пример первый
Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
\(\cfrac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}\)
Логично предположить что нам числитель необходимо разложить по степеням
получим результат
и наш ответ будет такой
\(f(x)=\cfrac{1}{x+3}-\cfrac{9}{(x+3)^2}+\cfrac{29}{(x+3)^3}-\cfrac{36}{(x+3)^4}\)
Если Вы попали на эту страницу, ища ответ на вопрос наподобие вот этого "как разложить в произведение множителей число 1800" то Вам несомненно стоит прочитать материал Простые множители. Теория чисел
Удачных расчетов!