1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.50 (27 голосов)

Разложить многочлен по степеням онлайн

Коэффициенты многочлена разделенные пробелами
Коэффицент C в биноме вида x-C
Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разложим по степеням вида
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение

В данном материале мы рассмотрим как можно разложить произвольный многочлен от одной переменной по степеням

Практические задачи, которые попадаются в учебниках и которые можно решить с помощью бота, выглядят вот так:

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

\frac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}

или 

Разложить многочлен по степеням x многочлен f(x-3) где  f(x)=x^5-5x^4-4x^3+2

И тот, и другой пример можно решить используя  метод Горнера , только необходимо этот метод применить столько раз, сколько имеет максимальное значение степени  при неизвестном.

Сначала рассмотрим последний пример

Разложим по методу Горнера  заданный многочлен на вот такое значение (x-3)

Почему стоит минус, а не плюс как в исходной задаче, спросите Вы. Не торопитесь, всему своё время.

\frac{x^5-5x^4-4x^3+2}{x-3}

 

Запомним  остаток -268

и разделим уже полученный многочлен  x^4-2x^3-10x^2-30x^1-90  опять на (x-3)

получим x^3+x^2-7x-51 и остаток -243

Еще раз проделаем операцию деления

получим x^2+4x+5 и остаток -36

Еще раз проделаем операцию деления

получим x+7 и остаток 26

Еще раз проделаем операцию деления

получим x и остаток 10

Еще раз проделаем операцию деления

получим ----- и остаток 1

Теперь составим из наших остатков вот такой многочлен

f(x)=(x-3)^5+10(x-3)^4+26(x-3)^3-36(x-3)^2-243(x-3)-268

Вот это нам будет считать бот автоматически, а  две последующие строки мы делаем вручную

Теперь  заменим x=x+3  и получим

f(x+3)=x^5+10x^4+26x^3-36x^2-243x-268

Вот и всё. Поняли почему мы раскладывали множитель на (x-3) а не  (x+3) ?

Бот выдает результирующий многочлен с несколько избыточным количеством скобок. Не думаю что это у Вас вызовет какое либо раздражение.

Разложение по степеням  многочлена  может осуществляется так  же и в комплексной плоскости, то есть все коэффиценты могут быть комплексными числами.

Давайте расмотрим пример первый

Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

\frac{x^3+2x-3}{(x+3)^4}

Логично предположить что нам числитель x^3+2x-3 необходимо разложить по степеням (x+3)

получим результат http://jabber.pozitiv-r.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=(x-(-3))^3+(-9)*(x-(-3))^2+(29)*(x-(-3))^1+(-36)

и наш ответ будет такой http://jabber.pozitiv-r.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?f(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{9}{(x+3)^2}+\frac{29}{(x+3)^3}-\frac{36}{(x+3)^4}

 

Если Вы попали на эту страницу, ища ответ на вопрос наподобие вот этого "как разложить в произведение степеней число  1800"  то Вам несомненно стоит ппрочитать материал Простые множители. Теория чисел

Удачных расчетов!