1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Формулы и онлайн расчет чисел Стирлинга второго рода и  субфакториала. Когда в своей работе или  учебе столкнетесь с теорией вероятности или комбинаторикой,  Вам пригодятся эти формулы.

Число Стирлинга второго порядка

Числа  Стирлинга второго рода, которые обозначают количество неупорядоченных разбиений множества из n элементов на k непустых подмножеств, вычисляются по рекуррентной формуле

S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k)

где

S(0,0)=1

 если 

k>n

то

S(n,k)=0

Субфакториал

D_n=nD_{n-1}+(-1)^n

при начальном значении

D_n=nD_{n-1}+(-1)^n

Значения субфакториала

n Dn
0 1
1 0
2 1
3 2
4 9
5 44
6 265
7 1854
8 14833
9 133496
10 1334961


Число различных разбиений целого числа  на целые слагаемые

Количество разбиений Pm(n) в некоторых случаях легко рассчитать самим.

Если возьмем число 5 , то разбить его можно таким образом

Одно слагаемое - 5

Два слагаемых  1+4 или 2+3

Три слагаемых 3+1+1 или 2+2+1

Четыре слагаемых  2+1+1+1

Пять слагаемых 1+1+1+1+1

Следовательно

P5(1)=P5(4)=P5(5)=1

P5(2)=P5(3)=2

В общем случае  числа Pm(n) находятся  как коэффициенты разложения функции

P(t,n)=\frac{t^n}{(1-t)(1-t^2)...(1-t^n)}

в ряд

P(t,n)=\sum_{m=0}^9P_m(n)t^m