Приведенный комплексный полином 4 степени и выше

Коэффиценты комплексного полинома
Исходный полином
Вид уравнения
Приведенное полиминальное уравнение
Приведенное уравнение

Когда мы научились  приводить кубическое уравнение в вид   по собственной методике, в том числе в комплексном поле, сразу захотелось  расширить решения на  полиномы более высокой степени.

Для тех, какую цель мы преследуем, объясняем что же мы подразумеваем в этой статье под словом "приведенный полином". Это не только , как пищут во всех справочниках, такой полином где коэффициент при старшей степени равен единицы, но такой полином где еще следующий коэффицент при степени (старший -1) равен нулю. 

В общем виде это выглядит так

Если есть полином 

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+.....+a_2x^2+a_1x+a_0=0

То всегда  заменой на 

Полином  можно превратить в  полином вида

y^n+0y^{n-1}+b_{n-2}y^{n-2}+.....+b_2y^2+b_1y+b_0=0

То есть коэффицент при y^{n-1} равен нулю

Бот и будет рассчитывать коэффиценты нового уравнения, по оригинальной методике.

Ограничение: Так как в во внутренних расчетах используется  факториал, то исходный полином не может  быть больше 10 степени. Для  большинства расчетов этого более чем достаточно.

Для некоторых полиномов  есть уже выведенные формулы, для кубического уравнения их можно увидеть перейдя по вышеуказанной ссылке, а для полинома 4 степени  формулы такие.

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

заменой x=y-\frac{b}{4a}

получим  уравнение

y^4+py^2+qy+r=0

где

p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}

q=\frac{8a^2d+b^3-4abc}{8a^3}

r=\frac{16ab^2c-64a^2bd-3b^4+256a^3e}{256a^4}

Формулы  достаточно сложные, особенно если коэффиценты комплексные. Но это по силу нашему боту.

Более того, как уже сказано выше, бот может вычислять новые коэффиценты для полиномов до десятой степени включительно.

Пример решения

Исходное  уравнение

Вид уравнения

Превратим его  в такое уравнение что бы  коэффициеент при степени 5, был равен нулю.

Введя коэффиценты  последовательнов поле ввода, разделяя их запятыми, получим

Исходный полином
Вид уравнения
Приведенное полиминальное уравнение
Приведенное уравнение

 

 

 

 

Убедиться, в правильности  расчетов можно двумя способами.

Прямым способом: Решить эти уравнение учитывая что x=y-\frac{6}}{6}

Косвенным способом: Убедится, что дискриминант этих двух полиномов одинаков. Например использовав систему wolframalpha

Upd 13.10.2015: модератор математического форума где разместил ссылку, сказал что этот материал  банален.

Странно,  что в интернете нет методики  расчета новых коэффициентов  для произвольного полинома... Наверно действительно "банально"....

Удачных расчетов!