НОД и НОК трех и более чисел

Положительные целые числа, через пробел
НОД (Факторизованный вид)
Наибольший общий делитель
НОК (Факторизованный вид)
Наименьшее общее кратное
НОД (Числовое значение)
Наибольший общий делитель
НОК (Числовое значение)
Наименьшее общее кратное

Что такое НОК?

НОК - наименьшее общее кратное. Такое число, на которое без остатка будет делится все заданные числа.

Например,  если заданные числа 2, 3, 5, то НОК=2*3*5=30

А если заданные числа  2,4,8, то НОК =8

что такое НОД?

НОД - наибольший общий делитель. Такое число, которым  можно разделить каждое из заданных чисел, без остатка.

Логично что  если заданные числа будут простыми, то НОД равен единице.

А если  заданны числа 2, 4, 8 то НОД равен 2.

НОД можно рассчитать по методу Евклида.

Расписывать его в общем виде не будем, а просто покажем решение на примере.

Заданы два числа 126 и 44. Найти НОД.

1. Делим 126 на 44 и находим остаток от деления  126=44*2+38. Остаток 38

2.Делим 44 на 38 и находим остаток. Он равен 6

3. Делим 38 на 6 и определим остаток. Остаток равен 2

4. Делим 6 на 2 и видим что он делится нацело, то есть с нулевым остатком.

Смотрим какое же было предыдущий остаток (на 3 вычислении). Видим что он равен 2

НОД этих двух чисел равен 2.

Альтернативный путь. Второй вариант который мы можем вам предложить  более нагляден и понятен , и позволит визуально увидеть чем отличается  НОК от НОД и как они высчитываются.

Для этого нам надо каждое число преобразовать в произведение сомножителей. Как это сделано в материале Простые множители. Теория чисел

Тогда если нам даны два числа вида

a=p_1^{k_1}p_2^{k_2}....p_n^{k_n}

и

b=p_1^{t_1}p_2^{t_2}....p_s^{t_s}

То НОД высчитывается как 

p_1^{min(k_1,t_1)}p_2^{min(k_2,t_2)}....p_n^{min(k_n,t_n)}

где min - минимальное значение  из всех значений степеней числа pn

а НОК  как 

p_1^{max(k_1,t_1)}p_2^{max(k_2,t_2)}....p_n^{max(k_n,t_n)}

где max - максимальное значение  из всех значений степеней числа pn

Смотря на вышеприведенные формулы, можно легко доказать что НОД двух и более чисел будет равен единице, тогда когда среди хотя бы одной пары заданных значений, окажутся взаимно простые  числа.

Поэтому легко ответить на вопрос чему равен НОД вот таких чисел  3,  25412, 3251, 7841, 25654, 7  ничего не вычисляя.

числа 3 и 7 взаимно простые, а следовательно НОД=1

Рассмотрим пример.

Даны три числа 24654, 25473 и 954

Каждое число  раскладывается в следующие множители

24654=2*3*7*587

25473=3*7*1213

954=2*3:{2}*53

Или, если мы запишем в альтернативном виде
 
24654=2^{1}*3^{1]}*7^{1}*53^{0}*587^{1}*1213^0}
 
25473=2^{0}*3^{1}*7^{1}*53^{0}*587^{0}*1213^{1}
 
954=2^{1}*3^{2}*7^{0}*53^{0}*587^{0}*1213^{0}
 
Теперь легко высчитать НОД по формуле
 
p_1^{min(k_1,t_1)}p_2^{min(k_2,t_2)}....p_n^{min(k_n,t_n)}
 
2^{min(0,1)}*3^{min(1,2)}*7^{min(0,1)}*53^{min(0,1)}*587^{min(0,1)}*1213^{min(0,1)}
 
2^{0}*3^{1}*7^{0}*53^{0)}*587^{0}*1213^{0}=3
 
То есть НОД этих трех чисел равен трем
 
Ну а НОК можем вычислить аналогично, и он равен
 
2^{1}*3^{2}*7^{1}*53^{1}*587^{1}*1213^{1}=4754943018
 
Наш бот, поможет Вам вычислить НОД и НОК любых целых чисел, двух, трех или десяти.
 
Удобство нашего бота не только в легкости ввода, но и  в выведении результата.
 
Результат будет в двух видах, в виде  факторизации и в виде обычного численного решения.
 
Факторизация нам поможет увидеть точный результат, в случае если числа будут очень большие.
 
Ограничение только одно, кажое число не должно быть длиннее 15 символов
 
Удачных расчетов!