1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Интегральная показательная функция комплексного переменного

Два значения n и z, функции E(n,z)

 
Полученный результат
значение интегральной показательной функции

В данной статье речь пойдет об интегральной показательной функции, из семейства специальных функций.

Область применения её достаточна специфична, но как говорят в народе, она тем не менее широко известна в узких кругах.

Используется в основном в теории вероятности, статистике, теории игр и для решение некоторых дифференциальных уравнений.

Есть обобщенная формула 

E_n(z)=z^{n-1}\Gamma(1-n,z)

Есть формула разложения функции в ряд при n=1

E_1(z) =-\gamma-\operatorname{ln}z+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nz^n}{n!\cdot n},|arg(z)|<\pi

Есть реккурентная формула, при которой можно узнать результат при других значениях n

E_n(z)=\frac{1}{n-1}(e^{-z}-zE_{n-1}(z))

где n=2,3,4,5....

Есть формула по которой можно определить значения неполной гаммы функции через формулу

E_n(z)=z^{n-1}\Gamma(1-n,z)

Непрерывные цепи 

Наиболее интересной особенностью при вычислениях  интегральной показательной функции является формула  разложения в непрерывную дробь.

E_n(z)={\cfrac {e^{-z}}{z+{\cfrac {n}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {n+1}{1+{\cfrac {2}{x+\ldots} }}}}}}}}

 

Эта формула однозначно и с высокой точностью определяет значение функции при всех n и z, в том числе и на  комплексной плоскости, кроме  одного случая, когда действительная часть комплексного числа z является  отрицательным числом ИЛИ когда модуль z меньше 1. В этом случае, результат не будет верным, и хотя порядок цифр совпадет, все таки погрешность достаточно велика, что бы использовать результат в дальнейших вычислениях.

Можно конечно использовать в этих случаях  разложение в ряд, как альтернативный способ, но я пока поищу другой способ.

Использовав разложение функции в непрервывную дробь, мы можем построить реккурентную формулу :

E_n(z)=\frac{1}{z^{n}A_0}

E_n(z)=\frac{1}{z^{n}A_0}

Первоначальное значение A_N можно получить, решив квадратное уравнение

A_N^2+A_N(z+n-1)+Nz=0

значение N для приемлемой точности можно брать больше 30, но никто не ограничивает Вас поставить и значение 700 или 1000, для высокой точности.

Бот вычисляет значение функции при всех действительных и комплексных значениях, без ограничений.  Просьба самим учитывать что при  отрицательной действительной части комплексного числа z  получаем неверное  значение.

Рассмотрим примеры:

 

Полученный результат
Простые множители заданного числа

 

Полученный результат
значение интегральной показательной функции

Сравнивая со справочниками и профессиональными математическими программами, мы видим что точность практически 100%.

Теперь примеры где результат неправильный.

А теперь покажем как рассчитывается при вышеуказанных пограничных условиях.

Полученный результат
значение интегральной показательной функции

На самом деле правильный ответ

-882.633010-536.16514i

Еще раз просьба учитывать  этот нюанс. Возможно в дальнейшем автор бота, доработает его, что бы правильные вычисления были на всей комплексной плоскости.

Если есть какие то пожелания, пишите!

Удачных расчетов!