1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (4 голосов)

Полные эллиптические интегралы

Значение в том числе и комплексное

 
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Эллиптические интегралы впервые появились при задаче определения периметра произвольного эллипса.

В общем случае эллиптическим называется интеграл

\int R(x,y) dx

где - рациональная функция  от x и y, а  y^2- многочлен третьей или четвертой степени от x

Известны преобразования, позволяющие выразить любой эллиптический интеграл  через интеграл от рациональной функции x и следующие три канонических интеграла.

Эллиптический интеграл первого рода

F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{ dx }{sqrt{1-k^2sin^2(t)}}

Эллиптический интеграл второго рода

E(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-k^2sin^2(t)}dt

Эллиптический интеграл третьего рода

 \Pi(c; \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}

Здесь

 \varphi - амплитуда

 k - модуль

 n - параметр эллиптического интеграла(третьего рода)

Интегралы, у которых амплитуда  \varphi=\frac{\phi}{2} называются полными. Для интегралов первого и второго рода применяются  соответственно  обозначения.

K(k)=F(\frac{\pi}{2},k)

E(k)=E(\frac{\pi}{2},k)

Используется также дополнительный модуль, равный по определению

k_1=\sqrt{1-k^2}

В таблицах эллиптических интегралов принято амплитуду выражать в градусах. Кроме того, часто величины    F, E, K, E рассматриваются как функции модулярного угла  - угла, заменяющего модуль и выраженного в градусах:

\alpha=\frac{180}{\pi}asin(k)

Таким образом

k=sin(\alpha)

k=sin(\alpha)

При вычислении   K(k) одним из наиболее эффективных является итерационный метод арифметическо-геометрического среднего (АГС). Начиная с пары   a_0=1,b_0=k_1=cos(\alpha) находятся следующие среднее арифметическое и среднее геометрическое, которые образуют две сближающиеся последовательности:

a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=\sqrt{a_0b_0}

a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, b_2=\sqrt{a_1b_1}

a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}

Процесс заканчивается при таком  n  для которого  a и  b  совпадают. Искомое значение  K определяется по формуле

K(k)=\frac{\pi}{2a_n}

Есть еще более простая формула, при k   стремящегося к единице.

K(k)=ln(\frac{4}{k_1})

Вычисление полного эллиптического интеграла  второго рода производится по той же схеме что и в случае интеграла первого рода , с использованием разностей

 

c_n=\frac{a_n-b_n}{2}, n=1,2,3.... 

получаемой на каждой итерации. Тогда 

E(k)=(1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N2^nc_n^2)K(k)

где c_0=k 

Бот,  рассчитывает значения полного эллиптического интеграла первого и второго рода, при любых значениях k 

С помощью этого бота мы сможем легко определять периметр эллипса, а также длину дуги любой кривой второго порядка.

Некоторые примеры

При значении x=i

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Хотелось бы заметить, что  если проверять  по данным который дает сайт www.wolframalpha.com получается что  у него  другие значения. Это связано с тем, что на том сайте, аргумент  предварительно возводится в квадрат, то есть там значения показаны для значения  i^2=-1 

 

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

и еще один

 

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Если Вы где то обнаружили ошибку в расчетах, убедительная просьба сообщить об этом. Спасибо!!!

Удачных расчетов!