1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Интегралы и эллиптические функции

Когда  мы научились рассчитывать эллиптические интегралы первого и второго рода мы столкнулись с недопониманием,  а где эти функции можно использовать в практическом смысле?

Что бы исправить эту ошибку  начнем с темы представления некоторых интегралов, решение которых,  можно представить через эллиптические функции. В открытом доступе их нет, только в бумажном виде, поэтому наверное кому то эта информация пригодится.

\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

где a>b, x=b*tan(\varphi)

 

 

\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

где a>b, x=a*cotan(\varphi)

 

 

\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

где x=\frac{a*b*sin(\varphi)}\sqrt{a^2cos^2(\varphi)+b^2}}}

 

 

\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

где x=a*cos(\varphi)

 

 

\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})

где x=b*sec(\varphi)

 

 

\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(x^2+a^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})

где x=\sqrt{b^2+(a^2+b^2)cotan^2(\varphi)}

 

 

\int_{0}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F(\varphi,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})

где x=a*sin(\varphi)} b>a

 

 

\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(b^2-x^2)}}=\frac{1}{b}F(\varphi,\frac{a}{b})

x=\frac{a*b*cos(\varphi)}\sqrt{b^2-a^2sin^2(\varphi)}}} b>a

 

 

\int_{b}^{x} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

x=\frac{a*b}{\sqrt{a^2cos^2(\varphi)+b^2sin^2(\varphi)}}} b>a

 

 

\int_{x}^{a} \frac{ dx }{\sqrt{(a^2-x^2)(x^2-b^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a})

где x=\sqrt{b^2sin^2(\varphi)+a^2cos^2(\varphi)}