1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Создание факториального многочлена

Коэффиценты многочлена/полинома
Исходный полином
Вид уравнения
Факториальный многочлен имеет вид
Приведенное уравнение

Рассмотрим одну  из задач математического анализа. При вычислении конечных разностей какого либо полинома, для упрощения расчетов нам просто необходимо вычислить так называемый факториальный многочлен.

Что же он собой представляет?

Если у нас есть многочлена вида

?f(x)=a_0x^{4}+a_1x^{3}+a_2x^{2}+a_{3}x+a_4

то факториальный  многочлен имеет вид

f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n

 

Алгоритм расчета коэффициентов факториального полинома очень прост.

1. Для заданного полинома берем значение k=0 и по методу Горнера узнаем частное и остаток многочлена .

2. Остаток полинома является значением коэффицента bk

3. Частное считаем за исходный полином

4. Прибавляем единицу к=к+1 и повторяем  пункты 1-3

5. Прекращаем цикл если k значению высшей степени при изначальной функции.

 

Для факторильный многочленом имеется своё представление  что бы не записывать длиннющую строку поэтому  вот такой вид

f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n

Представим в виде

f(x)=b_0x(x-1)(x-2)(x-3)+b_1x(x-1}(x-2)+b_2x(x-1)+.....+b_{n-1}x+b_n

Пример

Задана функция

f(x)=x^{4}-8x^{3}+21x^{2}-6x+3

 

Превратить её в факториальный полином

Разделим этот полином на x-0 получим

Заданный многочлен имеет вид

Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

 

Остаток равен 3 и это значение коэффицента b4

Теперь функцию  f(x)=x^3+(-8)*x^2+(21)*x^1+(-6)

разделим на x-1

Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

Остаток равен 8 и это значение коэффицента b3

Разделим  f(x)=x^2+(-7)*x^1+(14)

на x-2

Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

Остаток равен 4 и это значение коэффицента b2

И последняя операция деления

делим x-5 на x-3

Заданный многочлен имеет вид
Введенное выражение
если разделим его
Введенное выражение
Получим многочлен
Введенное выражение
и остаток
Введенное выражение

Остаток  равен -2 и это коэффицент b1

так как многочлен в    кнце концов превратился в единицу то это и будет значением b0

Таким образом наш факториальный многочлен имеет вид

f(x)=x^{(4)}-2x^{(3)}+4x^{(2)}+8x^{(1)}+3

Такое преобразование от обычного многочлена к факториальному виду, распрострняется и на комплексные коэффиценты, что полностью открывает область применения данного скрипта/бота.

Где могут применяться факториальные многочлены? Одно из применений это вывод формул суммы степенных рядов. Никогда бы не поверил, но это так и я попытаюсь в одной из статей рассказать Вам об этом.

Обратная конвертация из факториального многочлена в обычный  расположена по адресу Из факториального полинома в обычный