Коэффициенты полинома Чебышева

Порядок полинома Чебышева первого рода (не больше 100)
Полученный полином Чебышева
Введенное выражение

 

Если кто хочет  получить решение как разложить произвольный полином в полином Чебышева, то Вам сюда:

Разложение многочлена по Чебышеву

 

Свойства полинома Чебышева

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

T_0(x)=1

T_1(x)=x

 

T_{\frac{1}{n}}(T_n(x))=x

T_{n}(z)=\cos(n\arccos(z))

Дифференциальное уравнение для многочлена Чебышева

(1-x^2)T_n'(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0

Дискриминант многочлена Чебышева

Дискриминант такого многочлена  имеет следующий вид

Discriminant(T_{n}(z))=n^n2^{(n-1)}^2

То есть для многочлена 5 порядка Многочлен Чебышева пятого порядка дискриминант равен

204 800 000

Если мы берем приведенный многочлен Чебышева, то есть приводим его к виду где коэффициент при старшой степени равен единице, то дискриминант находится как

Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{n^n}{2^{(n-1)}^{2}}

Для  полинома Ð’веденное выражение  если каждый коэффициент разделим на 128, то дискриминант такого нормированного многочлена будет равен

Discriminant(Tn_{n}(z))=\frac{8^8}{2^{49}}}=\frac{1}{33554432}

Интеграл многочлена Чебышева

\int{T_{n}(z)}=\frac{1}{2}[\frac{T_{n+1}(z)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(z)}{n-1}]

Коэффициент полинома первого рода

Что бы определить произвольный коэффициент многочлена Чебышева можно пойти двумя путями:

1. Используя реккуретную формулу, определять последовательно все коэффиценты. 

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

2. Используя уже выведенную формулу для расчета 

T_n(x)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{(n-2k)}

 

a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C^k_{n-k}2^{n-2k-1}

 

Примеры:

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева T_5(x)

Введенное выражение

Рассчитаем коэффициенты многочлена Чебышева T_{13}(x)

Введенное выражение

 

Удачных расчетов!!