Расчет уравнений  1,2,3,4-ой степеней

Аргументы уравнения 1, 2,3 и 4 степени
Точность вычисления (знаков после запятой)
Вы ввели следующее выражение
Введенное выражение
Результат решения заданного уравнения

Расчет линейных, квадратных, кубических уравнений и уравнений четвертой степени

         Линейные уравнения - те самые "цветочки" математического анализа, которые любой школьник и студент обязан щелкать, как земляные орешки. Уравнения первого порядка, квадратные, кубические, уравнения четвертой степени - все они относятся к азам математики, не знать которые - преступление для взрослого человека. Но когда таких расчетов сотни и приходится выполнять их очень быстро, возникает желание как-то автоматизировать сей процесс. Например, вбивать в онлайновый калькулятор только коэффициенты и радоваться вычисленным машиной корням. Для этого и предназначен данный раздел нашего позитивного бота АБАК.

        Чтобы не заблудиться в уравнениях и не удивляться, откуда взялись на экране ложные результаты, стоит вспомнить теоретическую подоплеку каждого из обсуждаемых уравнений. 

       Уравнение первой степени с единственной переменной - это равенство вида ax + b = 0, где х - искомое число, а a и b{ -определенные действительные (!) числа. Если a = b = 0, то в качестве решения уравнения выступает любое число, если оба этих числа приравнены к нулю, у уравнения решений нет, а если a и b существуют, то  уравнение начинает называться линейным, и x=-\frac{b}{a}

         Святая простота линейного уравнения первой степени плавно перетекает в такой же простой дискриминант для квадратного уравнения: ax^2 + bx + c = 0, вычисляемый по формуле x={-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2a}}. С первого взгляда формула выглядит страшновато - еще один повод обратить внимание на АБАК, который требует указания одних только действительных коэффициентов a, b, c и сам выдает множество решений.

        Кубические уравнения ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 уже имеют все шансы испугать непосвященного в математику человека, так как ему придется заменой x=y-\dfrac {b } {3a} привести исходное уравнение к каноническому виду  y^3 + py + q = 0, где числом p выступает выражение  p=\dfrac {3ac-b^{2}} {3a^{2}}, а q заменит громоздкий трехчлен q=\dfrac {2b ^{3}-9acb +27a^{2}d} {27a^{3}}. Корни нового уравнения с заменой y на x вычисляются вот так

Q=\left( \dfrac {p} {3}\right) ^{3}+\left( \dfrac {q} {2}\right) ^{2}.

\alpha=\left( -\dfrac {q} {2}+\sqrt {Q}\right) ^{\dfrac {1} {3}}

\beta=\left( -\dfrac {q} {2}-\sqrt {Q}\right) ^{\dfrac {1} {3}}

 

y_{1}=\alpha +\beta

y_{2,3}=-\dfrac {\alpha+\beta } {2}\pm i\dfrac {\alpha-\beta } {2}\sqrt {3}

АБАК благополучно прячет от пользователя все эти тонкости, выдавая красивое решение с нужной точностью (см. вкладка "Примеры").

Решение уравнения четвертой степени будет еще сложнее и поэтому в рамках этого проекты мы его не рассматриваем подробно.

Кстати можно решить и обратную задачу,  по известным корням многочлена узнать  общий вид этого многочлена. Для этого необходимо воспользоваться материалом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Итак, решить любое из описанных уравнений с помощью карандаша, бумаги и знаний, разумеется, можно. Но гораздо быстрее и точнее призвать на помощь наш надежный, как скала, АБАК, чтобы оставаться спокойным за правильность найденных им корней. 

Выдает все корни, в том числе и комплексные значения.

вида ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

Хотелось бы обратить Ваше внимание что есть сервис(Решение уравнений методом Ньютона онлайн) которое позволяет Вам узнавать корень произвольного уравнения, который Вы только сможете придумать.

А также для тех кто хочет решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами то могут  обратится по адресу Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Синтаксис 

Jabber:  ur <элементы уравнения>

WEB:  <элементы уравнения>

Элементы уравнения должны быть действительными числами

Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.

Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.

Если в строке будет встречен любой символ не являющийся числовым, то он будет автоматически заменен на нуль.

Здесь есть понятие точности вычислений.

Точность обозначается знаком #число

где число от 1 до 9 - количество знаков после запятой.

Примеры 

 Пример1:

2*x^3-4*x^2+2.3*x+1=0

 ur  2 -4 2.3 1

Решаем уравнение:  2*x^3-4*x^2+2.3*x+1= 0   
Один действительный, и два мнимых корня
-0.2797
1.1398:0.6988
1.1398:-0.6988

Если нужна точность с 9-ью знаками после запятой то пишем

ur  2 -4 2.3 1 #9

Решаем уравнение: 2*x^3-4*x^2+2.3*x+1= 0  

Один действительный, и два мнимых корня
-0.279699722
1.139849861:0.698837372
1.139849861:-0.698837372


Уравнение четвертой степени:

ur 1 2 -3 4 -5

Решаем уравнение:  1*x^4+2*x^3-3*x^2+4*x-5= 0 


Первый корень 0.1308+1.1482i
Второй корень 0.1308-1.1482i
Третий корень 1.1103+0i
Четвертый корень -3.3719-0i


ur 1 0 0 0 4 #6

Решаем уравнение:  x^4+4= 0 


Первый корень 1.000000+1i
Второй корень 1.000000-1i
Третий корень -1.000000+1i
Четвертый корень -1.000000-1i