Удивительные результаты деления многочлена на многочлен.

Как и обещал, рассмотрим интересные выводы которые  можно получить, деля один многочлен на другой. Этот материал будет интересен всем, кто любознателен и любит математику.  

Начнем с примеров

Пусть у нас есть многочлен 

x^{9}+2x^{8}+3*x^{7}+...+9*x+10

(его можно делать бесконечным)

x^{10}+2x^{9}+3*x^{8}+...+9*x^2+10x+11=0

делим на многочлен

x-2

получаем

коэффиценты которого 1 4 11 26 57 120 247 502 1013 и так далее, образуют известный ряд A000295

Разделив исходный многочлен на x-1

Получаем многочлен ( не учитывая конечно остаток)

Где коэффиценты есть ряд треугольных чисел  A000217

Выбирая другой делящий многочлен мы получаем не менее инересные и неизученные последовательности.

Теперь возьмем исходный многочлен с единичными коэффициентами

и начнем делить снова на x-3

Получаем полином вида 

 где коэффиценты образуют A003462 последовательность

Если разделим на x-2

то получим полином с коэффицентами до боли знакомыми любому, мало мальскому ИТ специалисту (администратору или программисту)

 

а разделив вот на такой полином 

получим  в результате так называемую "последовательность Лихтенберга" A000975

В общих чертах, мы с помощью деления бесконечного многочлена с заданно явной процедурой расчета коэффициента, на любой другой заданный многочлен, получаем совершенно  непредсказуемые  последовательности, которые или уже открыты и кем то описаны, или даже о таких последовательностях и не думали.

Надеюсь эти примеры, помогли заинтересовать читателей, на более углубленное изучение этой темы да и математике вообще.

Удачных открытий!