Вывод формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим, один из способов вывода формулы по которой определяется сумма геометрической прогрессии. Есть несколько  способов доказательств, в том числе и через пределы. Но мы пойдем простым и логичным путем, не плодя новых сущностей, и не забивая голову, в данном случае тем, что для решения этой задачи нам не пригодится.

Напомним, что бесконечная сумма  геометрической прогресии существет и ограничена в том случае, если каждый из последующих элементов  стремится к нулю.  Или как написано в разных учебниках абсолютное значение знаменателя прогрессии меньше единицы.

Напомним, что же считается геометрической прогрессией?

Последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (q - знаменатель прогрессии) и называется геометрической прогрессией.

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

b_n=b_1q^{n-1}

а сумма прогрессии( считаем что она бесконечна, т.е. знаменатель не меньше нуля и не больше единицы) равна

S=\frac{1}{1-q}

Попробуем решить следующую задачу найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, заданную рядом

\frac{1}{5)+frac{1}{25)+frac{1}{125)+frac{1}{625)+....

Смотрим на неё и размышляем.  Что же мы можем с ней сделать, не зная ни одной формулы? Ну как минимум можем вынести \frac{1}{5) за скобки.

Попробуем 

\frac{1}{5)+frac{1}{25)+frac{1}{125)+frac{1}{625)+....

Аха!  В скобках получился такой же ряд что и в начале только с единицей в начале.

Обозначим сумму ряда  как S

и тогда можем записать что

\frac{1}{5}(1+S)=S

Это уравнение с одной переменной и легко решается

Ответ \frac{1}{4). Это и есть наш ответ. 

Заметили? Мы не пользовались ни пределами, не запоминали ни одну формулу. Мы просто здраво рассуждали и пришли к правильному решению.

Давайте обобщим и выведем общую формулу геометрической прогрессии вышеуказанным способом.

У нас есть ряд \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....

Обозначим эту сумму как S и вынесем \frac{1}{a) за скобки

получим \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^4}+....)

или \frac{1}{a}(1+S)=S

Отсюда S=\frac{1}{a-1}

Возросла самооценка от того, что сами можете доказывать и выводить формулы?

То то же :)