Расчет степеней  и корней комплексных чисел

Основание степени. Произвольное число
Значение степени. В том числе комплексное число
Точность вычисления. Количество знаков после запятой
Вы ввели следующее выражение
Введенное выражение
Результат вычисления степени
Результат выражения (альтернативный вывод) со всеми корнями

Описание

Данная служба рассчитывает любые степени действительных или комплексных чисел.

Поможет Вам рассчитать корень комплексного числа, возвести в степень действительное или комплексное выражение.

Рассчитывает степень любого числа

 f\left( y\right) =x^{k}

Хотелось бы заметить, что возведение любого действительного числа в дробную степень, не так сложно как может показаться на первый взгляд.

x^{k}= e^{k\ln \left( x\right) }

то есть, если мы хотим возвести число 3 в степень \sqrt {2}

то  решение такое

\sqrt {2}\ln \left( 3\right)=1.5537

e^{1.5537}=4.7288

Итого

(3^{ \sqrt {2})}=4.7288

Если речь идет о комплексных числах,  то  возведение степень и извлечени корня осуществляется по уравнению Муавра.

Формулы следующие:

Для возведения в степень

x^{k}=r^{k}\left( cos \left( kf\right) +isin \left( kf\right) \right)

r - модуль комплексного числа

f - аргумент комплексного числа

Для извлечения корня

x^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }=r^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }cos \left( \dfrac{f+2p\pi}{2}\right) +ir^{\left( \dfrac {1} {k}\right) }sin \left(\dfrac{f+2p\pi}{2}\right)

 

где p = 0, 1, …, k—1.

Есть еще третий возможный вариант, когда  не только основание является комплексным числом, но и степень этого числа также число комплексное.

Конечно возникает желание использовать формулу Муавра и преобразовать её, для наших нужд, но мы воспользуемся первым вариантом вычисления степеней.

то есть вот этой формулой x^{k}= e^{kln \left( x\right) }

Формула  расчета логарифа комплексного числа известна

ln(x+iy) = \frac{1}{2} ln(x^2+y^2)+ i \left( \varphi + 2 \pi k \right)

здесь k - может принимать любые целые  значения, поэтому говорят, что логарифм комплексного числа многозначен.

 

Для практических целей используется главное значение(k=0)

Формула расчета экспоненты комплексного числа тоже

Таким образом у нас есть всё, что бы рассчитать на практике комплексную степень комплексного  числа.

Синтаксис 

Если используете XMPP клиент:  step_i <запрос>

Если используете этот сайт:  <запрос>

где запрос  - состоит  из двух чисел. Сначала идет основание потом  в другом окне степень.

Основание может быть как действительным числом так и комплексным, положительным или отрицательным

Комплексное значение пишется как x:y  где х- действительная часть числа, а y- мнимая часть, но можно написать и в нормальном виде через символ i

Степень может  быть быть целым числом,как положительным так и отрицательным.

Степень может быть выражена также степенью двух целых чисел например 1/2 или -5/7. В таком случае альтернативный вывод покажет Вам, все 2 или все 7 корней соответственно.

Степень может быть комплексным числом записанным как в нормальной форме через символ i, так  и через сокращенную запись x:y, где x- действительная часть числа, y - мнимая часть числа

Замечание: В поле можно вводить только числа и никак не выражение, если у Вас есть желание посчитать вот такое выражение (\frac{i}{sin(i+1)-2i})^{3i}

то эта страница вам не поможет, Вам надо  использовать универсальный калькулятор комплексных чисел

 f(k)=x^y

где x- это основание, а y-степень

x^{\frac{1}{2}} =\sqrt{x}

x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{x}}

x^{-3} =\frac{1}{x^3}

x^{\frac{5}{2}} ={\sqrt{x}}^5

Примеры

 

Например: взять степень 2/5 от комплексного числа 1-2.5i

Пишем 1:-2.5 2/5 или если делаете запрос через Jabber  step_i 1:-2.5 2/5

Ответ получим

Комплексное число 1:-2.5 в степени 2/5 равно

Действительная часть: 1.3209 Комплексная часть: -0.6812
Действительная часть: 1.0560 Комплексная часть: 1.0457
Действительная часть: -0.6682 Комплексная часть: 1.3275
Действительная часть: -1.4690 Комплексная часть: -0.2253
Действительная часть: -0.2396 Комплексная часть: -1.4667


Интересно, а чему будет равна мнимая единица в степени мнимой единицы?

пишем i i

и получаем что мнимая единица в комплексной степени


возведем еще одно число в комплексную степень.

число 1+i в комплексную степень 1-i

результат вот такой комплексная степень числа