Числа ряда Фибоначчи. Онлайн расчет. Формула Бине.

Порядковый номер ряда Фибоначчи
Порядковые номера и значения очередных чисел Фибоначчи

Число Фибоначчи

Впервые числа Фибоначчи появилась в сочинении "Liber abacci" («Книга об абаке»), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci. т. е. сын Боначчи). Эта книга, написанная в 1202 г.. дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

Практически в пору мрачного средневековья это единственная книга из Европы, датированная 13 веком посвященная математике.

«Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий.
 
В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами.
 
Сообщаемый в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.
 

Числа Фибоначчи возникают в самых различных областях жизни.

На подсолнухе семечки выстраиваются в спирали, причем количества спиралей, идущих в одну и в другую сторону, различны — они являются последовательными числами Фибоначчи (например, спиралей может быть 34 и 55). 

То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей обычно бывает 8.

Числа Фибоначчи 3, 5, 8, 13 фигурируют в любопытном геометрическом софизме, утверждающем, что «64 = 65» или "потерянная площадь", с помощью разрезания квадрата 8X8 и складывания из него прямоугольника 5X13. 

Числа Фибоначчи возникают и при описании выигрышной стратегии в древней китайской игре «дзяныпицзы», в которой двое играющих берут по очереди камни из двух кучек: либо произвольное количество из одной кучки, либо поровну из двух (выигрывает игрок, берущий последний камень).

 Обнаружено, что дроби вида а/в, соответствующие винтообразному расположению листьев на стебельке растения, часто являются отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Для бука и орешника это отношение равно 2/3, для дуба и абрикоса — 3/5, для тополя и груши — 5/8, для ивы и миндаля —8/13, и т. д. 

Числа Фиббоначи оказались неразывно  связаны с так называемым "золотым сечением" , которым пользовались и практически возводили в своеобразный "культ" еще древние греки.

Золотое сечение это деление произвольного отрезка в таком отношении, что  большая часть относится к меньшей, также как весь отрезок относится к большей.

Фигуры, картины, здания и все что нас окружает, по мнению древних, все должно подчинятся "золотому сечению". Правильность этого соотношения говорит о  внешней гармонии наблюдаемого объекта.

Если мы хотим решить задачу и определить в числах чему же равно золотое сечение, нам необходимо решить  пропорцию

золотое сечение

Если мы меньшую часть b примем за единицу, а a обозначим х то получим

формула золотого сечения

x^2-x-1=0

Решение этого уравнения дает нам следующий результат

x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Положительное число равное x=1.6180339887499  и есть золотое сечение

Самое удивительное в том, что несмотря на явную иррациональность  полученного числа именно "золотое сечение" поможет нам находить произвольное число ряда Фиббоначи.  Для этого воспользуемся так называемой формулой Бине:

Эта формула и используется ботом что бы Вам дать точный ответ.

И еще о "золотом сечении".  Попробуем  перевести число x=1.6180339887499 в цепную или по другому, непрерывную дробь. Для этого воспользуемся ботом Непрерывные, цепные дроби онлайн

Мы увидим что иррациональное число x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} имеет прекрасную, по своей красоте, непрерывную дробь.

 

непрервыная дробь золотого сечения

 

Сумма ряда Фиббоначи

Если мы внимательно посмотрим на ряд Фиббоначи  1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21,34  то заметим еще одну особенность.

Сумма ряда Фиббоначи  равна числу этого ряда увеличенную на две позиции минус два.

Например  чему равна сумма первых шести чисел этого ряда 1+2+3+5+8+13?

Она равна восьмому (шесть+два) числу Фиббоначи минус 2. то есть 34-2=32

Таким образом для того что бы посчитать сумму ряда, нет необходимости использовать циклы или суммировать каждый элемент, достаточно по формуле Бине  найти число Фиббоначи, чей номер большее от заданного значения на два и вычесть два.

 

Синтаксис 

Jabber:  fb <число>

WEB:  <число>

Числом может быть  целое число  которое обозначает порядковый номер в ряду Фибоначчи.

0,1,1,2,3,5,8......

Примеры

Пример:

Определим 30-ое число ряда

fb 30

получаем ответ

 

30-ое число ряда Фиббоначчи равно 1346269
Следующие числа этого ряда равны
 31-ое число  равно 2178309
32-ое число  равно 3524578
33-ое число  равно 5702887
34-ое число  равно 9227465
35-ое число  равно 14930352
36-ое число  равно 24157817
37-ое число  равно 39088169
38-ое число  равно 63245986
39-ое число  равно 102334155