1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 голос)

Создание полинома одной переменной по корням

Корни многочлена разделенные пробелами
Вы ввели корни полинома следующие
Введенное выражение
Полученный многочлен с заданными корнями имеет вид
Введенное выражение

Описание

Часто в жизни возникает ситуация, обратной задаче нахождения корней многочлена вида

Многочлен одной переменной

где b,c....z,w - являются коэфициентами полинома.

При n=2 получается квадратное уравнение

при n=3 кубическое  и т.д.

Данный сервис позволяет решать задачу нахождения  таких коэффициентов, если известны корни  этого полинома.

Вроде бы простая задача, но при создании полинома четвертой степени вычислить элементы полинома уже достаточно сложно.

Смотрите сами.

Берем квадратное уравнение 

Квадратное уравнение

Пусть нам будут известны его корни первый корень  квадратного уравнения и Второй корень квадратного уравнения

Тогда первый элемент полинома,    последний элемент многочлена

Высчитывается просто и  более того основываясь на этих двух правилах, можно вычислять устно ( в уме) целочисленные корни при целых элементах квадратного уравнения.

Надо лишь, разложить  коэффициент c на два множителя таким образом, что бы их сумма была равна Множитель b

Эти множители и будут корнями квадратного уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение кубическое

Кубическое уравнение

Пусть нам будут известны его корни первый корень  квадратного уравнения , Второй корень квадратного уравнения и 

Тогда  

Первый элемент кубического уравнения

Второй элемент кубического уравнения

Третий элемент кубического уравнения

Уже сложнее. Если мы возьмем полином 4 степени и выше мы увидим что сложность вычисления  элементов полинома  возрастает в геометрической прогресии.

Еще сложней придется если известные корни  содержат в себе комплексные числа.

Именно для упрощения  подобных вычислений и был придуман этот бот.

В примерах Вы увидите как легко и просто  бот создает полином произвольной степени по известным корням.

Если же Вам необходимо решить полином то ознакомтесь  с статьей Расчет квадратного, кубического и 4 степени уравнения онлайн

Синтаксис

Если используем бота через XMPP клиент, то пишем:  polynom <строка>

Строкой может быть список корней полинома разделенных между собой пробелом, если корень полинома является комплексным числом то его записываем в форме  x:y 

где x-действительная часть, y-мнимая часть

Примеры

Пример1:

Определить коэффициенты многочлена когда известны следующие корни

x1=2;x2=-2;x3=7

Пишем polynom 2 -2 7

в ответе получаем

По заданным корням  мы получили следующий полином 3 степени 

c коэффициентами слева направо с более высокой степени на низкую
1:0 -7:0 -4:0 28:0
 
То есть уравнение  выглядит следующим образом
 
x^3-7*x^2-4*x+28=0
 
Если вы решите это уравнение то получите исходные данные
 
Пример2:
 
пусть корни многочлена включают в себя комплексные значения
x1=1; x2=3-2i; x3=-1+i;x4=-1
 
пишем polynom 1 3:-2 -1:1 -1
 
получили 
По заданным корням  мы получили следующий полином 4 степени 
c коэффициентами слева направо с более высокой степени на низкую
1:0 -2:1 -2:5 2:-1 1:-5
 
то есть получили полином четвертой степени с комплексными коэффициентами
 
-x^4+(-2+i)*x^3+(-2+5i)*x^2+(2-i)*x+1-5i=0
 
и если мы решим этот полином 4 степени 
то получим полное совпадение с исходными данными
 
Пример3:
Создадим уравнение по известным корням
Корни уравнения
x1=5
x2=1+i
x3=1-i
 
Считаем 
polynom 5 1:1 1:-1
 
получаем следующее уравнение
По заданным корням  мы получили следующий полином 3 степени 
c коэффициентами слева направо с более высокой степени на низкую
1:0 -7:0 12:0 -10:0
 
то есть 
 
x^3-7*x^2+12*x-10=0
 
Где это может пригодится? Для создания задач учителями, для того что бы ученики не брали информацию из различных решебников, а пытались думать самостоятельно.
А также для создания полинома произвольной степени, если известны его корни.