1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (2 голосов)

Арифметическая прогрессия. Расчет параметров онлайн

Параметры арифметической прогрессии
Точность вычисления
Результат вычислений
N-ый элемент арифметической прогрессии
Сумма арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы

- формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

S[n]=a1*n+d*n*(n-1)/2

- формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии

a[n]=a1+d*(n-1)

Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.

И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.

Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией.  Математик Муавр  (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти. По легенде - он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.

Синтаксис

Для тех кто использует XMPP клиент:  ap  <переменные>

Переменные  - строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.

Переменные могут быть следующие

a1 - первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13

a[n] - n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67

d - разница арифметической прогресии

S[n] - сумма первых элементов арифметической прогресии.

Если  результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн

Он Вам поможет рассчитать что 7.2408=\frac{9051}{1250}

 

Примеры

Дана арифметическая прогрессия  где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии

Запрос будет следующим 

ap a1=5;d=3;n=100

и получаем следующее

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=3
Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350
Первый элемент прогрессии a1=5
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N
 

Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305
Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.
 
Запрос будет таким
ap S[10]=100;S[23]=305
 
Получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=0.5017
Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100
Первый элемент прогрессии a1=7.7425
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N
 

В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.
 
Запрос будет такой
ap a[2]=4;a[28]=56
 
и получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=2.0000
Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6
Первый элемент прогрессии a1=2.0000
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N
 
Нам надо было определить сумму ?
не вопрос
С учетом полученного ответа ответа  запросим точный ответ на поставленную задачу
 
ap n=28;a1=2;d=2
 
и получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=2
Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812
Первый элемент прогрессии a1=2
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

Уважаемый пользователь,  задал вопрос  - а как решать арифметическую прогрессию  когда  задана задача в таком виде:

Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.

К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение,  когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.

Но не все так плохо. Мы готовы дать методику  как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную

Получили следующие исходные данные

S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x

Запишем формулы для каждой из заданных значений

S[20]=30=a1*20+d*20*(20-1)/2

a[8]=2*x=a1+d*(8-1)

a[5]=x=a1+d*(5-1)
 
Преобразуем  и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.
получаем три уравнения
 
a1*20+190d=30
a1+7d-2x=0
a1+4d-x=0
 
Получили систему линейных уравнений. Решать её можно любым способом который вы изучаете  на данный моментв школе. Мы же воспользуемся ботом  Система линейных уравнений с комплексными коэффициентами
 
Пишем этому боту  запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0
 
и получаем ответ
a1=-0.176470588
d=0.176470588
x=0.529411765
 
Откуда мы видим что параметры арифметической прогрессии равны a1=-0.176470588 и d=0.176470588
Проверка подтверждает наши  вычисления

И еще один пример с неизвестными переменными, которые бот не умеет решать. Пусть дана арифметическая прогрессия, что  сумма  11 и 7 элементов прогресии  на 50 меньше чем сумма первых девяносто элементов. А первый элемент равен 2
 
Запишем, что же нам известно
S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50
S[90]=x=a1*90+\frac{d*90*(90-1)}{2}
 
a[7]+a[11]=x-50=a1+d*(7-1)+a1+d*(11-1)
 
Преобразуем и получаем
 
a1*90+4005d-x=0
2a1+16d-x=-50
 
Так как первый элемент равен двум то  наши уравнения  превращаются в  очень простую систему
 
4005d-x=-180
16d-x=-54
 
Откуда d=-0.031586864