Периметр эллипса через эллиптические функции

Значения полуосей эллипса
Большая полуось a
Малая полуось b
Уравнение эллипса
Введенное выражение
Эксцентриситет эллипса
Точный периметр эллипса
   

 

Расчет длины/периметра эллипса совсем не является тривиальной задачей, как можно было бы подумать.

Легко рассчитать длину окружности, по формуле

L=2\piR

Но такой же простой подход совершенно не подходит для эллипса.

В точном выражении периметр эллипса  можно выразить только через эллиптические функции  вот по такой формуле

L=4aE(e)

где E() - полный эллиптический интеграл второго рода

e - эксцентриситет эллипса

a - большая полуось эллипса

В быту, конечно же используются приближеные формулы, о которых мы расскажем. 

Одна из них выглядит вот так

L \approx 4\frac{\pi ab + (a-b)^2}{a+b}.

В два раза более точные данные  дает формула

L \approx 4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)

где

x=\frac{\ln 2}{\ln\frac{\pi}{2}}

И еще более точный периметр эллипса дает выражение

L \approx \pi\left[ 3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right]

Но, все равно каковы бы не были формулы, они все равно только приближенно дают периметр эллипса.

Мы, с помощью точной формулы через эллиптический интеграл, получаем независимость от подобных ограничений, и получаем абсолютную точность, при любых значениях эллипса.

Решение примеров

Эллипс задан уравнением

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1

Найти его периметр

Введем известные параметры  a=2 и b=5 и получим результат

Уравнение эллипса
Введенное выражение
Эксцентриситет эллипса
0.916515138991168
Точный периметр эллипса
23.013112595668

Почему в исходных данных, ввести можно только значения полуосей? По другим параметрам, что не считает?

Объясняю.

Калькуляторы на этом сайте, в том числе и этот, не предназначены для замены Вашего мозга. Они лишь упрощают рутинные операции, или те операции где возможно ошибиться. И только.

Поэтому если Вы не можете например по эксцентриситету и одной из полуосей, вычислить вторую полуось , я лишь могу выразить сочуствие Вашим способностям.  И математика и геометрия не Ваш конёк. 

С другой стороны недостаток ума ваших способностей, легко компенсируется деньгами, тем людям, которые за Вас эту работу могут сделать.

 

Кроме этого есть калькулятор, который по двум точкам стоит каноническое уравнение, а также по любым другим пяти точкам может строить кривую второго порядка на плоскости. Этого на мой взгляд более чем достаточно.

Но в любом случае, если у читателя возникнет желание попросить автора сделать калькулятор по любым другим параметрам, в принципе это сделать можно.

Человек человеку, так сказать друг и брат....