1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 голосов)

Построение уравнения плоскости  по трем координатам

Первая координата (X1 Y1 Z1) через пробел
Вторая координата (X2 Y2 Z2) через пробел
Третья координата (X3 Y3 Z3) через пробел

 
Уравнение плоскости
Уравнение

Рассмотрим задачу построения уравнения плоскости   по  точкам в пространстве. Эта статья лишь вершина айсберга расчета поверхностей второго порядка в пространстве. Используется такая же методика что и в материале расчет кривой второго порядка на плоскости.

 

Уравнение плоскости в пространстве имеет вид

 

Ax+By+Cz+D=0

 

Легко заметить,  что раз тут три переменные, то мы однозначно определяем все значения плоскости по трем точкам.

Самый простой способ  определить уравнение плоскости это решить матричное уравнение

 

\begin{pmatrix}x-x_0&x_1-x_0&x_2-x_0\\y-y_0&y_1-y_0&y_2-y_0\\z-z_0&z_1-z_0&z_2-z_0\end{pmatrix}=0

 

Проверим как это работает 

Пусть нам заданы три точки  с координантами P0(1:-2:0) P1(2:0:-1) и P2(0:-1:2)

Подставив значения в уравнение получим.

\begin{pmatrix}x-1&1&-1\\y+2&2&1\\z&-1&2\end{pmatrix}=0

 

Решая уравнение мы получим  вот такой результат

 5x-y+3z-7=0

 

Наш бот, будет рассчитывать по своей методике и  при тех же самых данных,  мы получим  вот такое решение.

-0.714285714x+(0.142857143)y+(-0.428571429)z+1=0

 

Читатель, может сразу заметить, что  коэффициенты при неизвестных совершенно другие чем  мы получили через матрицу.

Но тем не менее,  это одно и тоже уравнение плоскости. Достаточно лишь  умножить  правую и левую часть уравнения на 7

и получим 

 

5x-y+3z-7=0

 

Что подтверждает наши расчеты и правильность вычисления.

 

Если у вас в результате получилось например вот такое уравнение

Уравнение

А хочется получить все таки решение, где все значения в целых числах, рекомендую перевести числа в  дробь. Для этого достаточно посетить материал Непрерывные, цепные дроби онлайн или в случае когда результат  получается неудовлетоврительный,  Вычисление приближенной правильной дроби и каждое дробное значение превратить в дробь.

И наше уравнение превращается

-\frac{53}{84}x-\frac{52}{84}y-\frac{25}{84}z+1=0

 

И умножим правую и левую часть на 84 мы получим уравнение в целых числах.

 

Хотелось бы заметить только одно, три точки, которые Вы будете вводить, не должны быть на одной прямой, так как в таком случае, уравнение плоскости вычислить  неудастся в связи с неоднозначностью её положения в пространстве. 

Удачных расчетов!