1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 голос)

Решение уравнения эллипсоида по точкам

Первая координата (X1 Y1 Z1) через пробел
Вторая координата (X2 Y2 Z2) через пробел
Третья координата (X3 Y3 Z3) через пробел

 
Каноническое уравнение по точкам
Уравнение
Объем эллипсоида
Площадь поверхности эллипсоида
Продолжаем наше изучение поверхностей второго порядка, и следующим объектом после плоскости, станет у нас эллипсоид.

 

Что же это за фигура?

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. 

Каноническая форма эллипсоида имеет вид

(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2+(\frac{z}{c})^2=1

Так как в этом уравнении только три неизвестных параметра, то мы однозначно можем определить коэффициенты по трем произвольным точкам в пространстве.

Главное что бы эти три точки не лежали в одной плосткости.

Площадь поверхности эллипсоида  можно вычислить с погрешностью около 1% по следующей приближенной формуле

 

S=4\pisqrt_p{\frac{a^pb^p+a^pc^p+b^pc^p}{3}}

где

?p=1.6075

 

Если речь идет о точной формуле поверхности произольного эллипсоида то  она включает в себя неполные эллиптические интегралы первого и второго рода 

S=2c^2\pi+\frac{2ab\pi}{sin(\phi)}}(E(\phi,k)sin^2(\phi)+F(\phi,k)cos^2(\phi))

где

cos(\phi)=\frac{c}{a},    k^2=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},    a \ge b \ge c

С объемом эллипсоида намного все проще и формула следующая

V=\frac{4}{3}abc\pi

 

Бот, по трем координатам или коэффициентам, рассчитает каноническую  формулу , объем эллипсоида, и площадь его поверхности по приближенной формуле.

Рассмотрим пример:

Узнать параметры эллипсоида, если точки с координатами (1:2:-11) (4:1:2)(0:-1:-26) лежат на его поверхности

после ввода данных получаем

Каноническое уравнение по точкам
Уравнение

 

Иногда при вводе данных Вы можете получить ошибку, что по этим трем точкам нельзя построить эллипсоид. Но тем не менее бот Вам  рассчитает коэффициенты. Что же тогда означает эта ошибка?

Это лишь говорит о том что поверхность построенная по заданным точкам не эллипсоид, а например, гиперболоид, с правильно(!) рассчитанными коэффициентами.

Потому что, смотря на формулу эллипсоида в самом начале статьи мы увидим, что в формуле не может быть(не должно быть) отрицательных коэффицентов.

Удачных расчетов!