1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 голосов)

Выпуклости и впалости у многоугольника онлайн

 

Рассмотрим простую задачу расчета площади треугольника  по его координатам через матрицу.

В принципе, мы это обсуждали в статье, но хотелось  обратить Ваше внимание на одно замечательное свойство, которое нам пригодится в строительстве дальнейших калькуляторов.

Напомним, что площадь треугольника через координаты вершин  вычисляется

 

Вспомнив, а кто не знает может ознакомится с свойствами определителя, заметим, что  смена строк ( например вторую на первую) меняет знак определителя  на противоположный. И хотя площадь треугольника не может быть отрицательным числом( поэтому он отбрасывается при вычислении площади), отсюда следует важное свойство!

 Геометрически,смена знака означает, что мы меняем "путь обхода" вершин треугольника. То есть при обходе вершин треугольника по часовой стрелке, получается один знак (отрицательный), при обходе вершин треугольника против часовой стрелки, знак определителя будет противоположный (положительный).

Где же это можно применить?

Нам это свойство пригодится  для расчетов многоугольников, определить какие части его выпуклые, а какие впалые ("впуклые" :) ).  Для разбиения многоугольника на треугольники, это незаменимая задача.

Например при правильном многоугольника ( а это фигура выпуклая)  все знаки будут одинаковы.

При вычислении трапеции, тоже все знаки будут одинаковы.

А вот при вычислении фигуры в виде звезды, знаки будут  менятся с плюса на минус   и так далее, в зависимости от количества лучей в звезде.

 

Рассмотрим многоугольник с координатами 5:1 8:8 2:5 -5:5

Вид его

 

Рассчитаем определители каждых последующих троек координат.

 

 

\begin{pmatrix}5%20&%201%20&%201%20\\%208%20&%208%20&%201%20\\%202%20&%205%20&%201%20\\%20\end{pmatrix}

 

 

 

Введенное выражение

 

По знакам рассчитатных определителей сразу видно где есть впалость у многоугольника. Она находится  между координатами 8:8 2:5 и -5:5

Отрисованный многоугольник нам на это и указывает.