1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.47 (160 голосов)

Кривая второго порядка на плоскости по точкам

Элементы кривой второго порядка или координаты
x^2+ y^2+ xy+ x+ y+

 

Полученная формула
Введенное выражение
Коэффициенты через пробел

Кривые второго порядка на плоскости

Служба  предоставялет интересный сервис  для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти.

Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой

формула кривой второго порядка

Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6

приведенная формула кривой второго порядка

отсюда видно, что кривую второго порядка  можно однозначно определить по пяти точкам.

Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие "типы":

- Эллипс

- Окружность

- Парабола

- Гипербола

- пара пересекающихся прямых

- пара паралельных несовпадающих прямых

- пары совпадающих прямых

- линии, вырождающиеся в точку

- "нулевые линии", то есть "линии", вовсе не имеющие точек

Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста

формула окружности  - окружность

формула "нулевой" окружности - "нулевая" окружность

формула эллипса - эллипс

формула точки  -  точка

формула равносторонней гиперболы  -  равносторонняя гипербола

формула пары пересекающихся прямых  - пара пересекающихся прямых

формула параболы - формула параболы

формула пары параллельных прямых - пара параллельных прямых

формула нулевой линии - нулевая линия

формула пары совпадающих прямых - пара совпадающих прямых

Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка. 

От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу.

Инварианты и сводная таблица

Любая кривая второго порядка формула кривой второго порядка характеризуется  тремя инвариантами, имеющими вид

первый инвариант

второй инвариант

второй инвариант

 

И одним семиинвариантом

семиинвариант

 

если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем  прочитать книгу "Аналитическая геометрия - Делоне"

Характеристическое уравнение кривой второго порядка:

характеристическое уравнение

Таким образом сводная таблица имеет вид

 

Признак типа Признак класса Название Приведенное уравнение Каноническое уравнение
первый признак типа признаки класса Эллипс первое приведенное уравнение frac{x^}{a^2}+frac{y^2}{b^2}-1=0
I_2>0, & I_1K_2>0 Мнимый эллипс frac{x^}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+1=0
I_2>0, & K_2=0 Точка frac{x^}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=0
I_2<0, & K_2ne0 Гипербола frac{x^}{a^2}-frac{y^2}{b^2}-1=0
I_2<0, & K_2=0 Пара пересекающихся прямых frac{x^}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=0
I_1^2-4I_2=0 Окружность x^2+y^2-R^2=0
второй признак типа I_2=0, & K_2ne0 Парабола I_1x^2+2ysqrt{-frac{K_2}{I_1}}=0 x^2-2py=0
третий признак типа I_2=0, & K_2ne0,&K_1<0 Пара паралельных прямых I_1x^2+frac{K_1}{I_1}=0 x^2--a^2=0
I_2=0, & K_2ne0,&K_1>0 Пара мнимых паралельных прямых x^2+a^2=0
I_2=0, & K_2ne0,&K_1=0 Пара совпадающих прямых x^2=0

 

Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную "особенность". Попробовав рассчитать по трем точкам  кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс.

Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида,  и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ  пользователю "вы получили уравнение второго порядка" и всё...  не соврали же...

Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию  и сути решаемых задач. Это как в анекдоте "А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4"(с)  И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник....

Синтаксис 

Jabber:  kp2 <строка>

Строкой является список чисел  разделенное пробелами. 

А каждое "число" представляет собой абсциссу  и ординату точки  разделенные двоеточием.

Координат или их "замен" должно быть ровно шесть

То есть если мы знаем пять координат то 6 элементом у нас будет единица.

В вкладке Пример Вы сможете увидеть решения некоторые.

Если в строке  есть числа не имеющие : то это означает  что это неизменяемый соответствующий коэффициент кривой второго порядка.

Например если в строке стоит ноль на первой позиции строки   то это означает что A1=0

Бот вычисляет численные параметры кривой. Если же Вам надо нарисовать кривую второго порядка на плоскости, просьба использовать программу GeoGebra и материал Построить график функции c помощью GeoGebra

Примеры

Пример:

Начнем сразу с проверочного примера

Вообще, убедимся правильно ли считает бот?

Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y

определим значения при x=1,2,3,4,5

значения получились такие y=-7,-1,7,17,29

и зададим эти точки в качестве исходных

пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29

в результате получаем следующее:

-0.09091*x^2-0.00000*y^2-\\\\-0.00000*x*y-0.27273*x+0.09091*y+1=0

На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится.

Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на  0.09091 то результат будет такой 

{tex}-x^2-3*x+y+11=0{tex}

то есть y= x*x+3*x-11

Что и требовалось доказать  в качестве правильности расчетов  нашего бота.


Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки

С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7

Логично, что это тоже самое уравнение параболы  что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное.

Давайте попробуем задать боту  всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить.

Например:

a2*y^2+a3*x*y+a4*x+a6 = 0

Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю

Скажем об этом боту

kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1

где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо  учитывать, а 1 - это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен.

Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент.

получим

Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0

Коэффициент a2 при y*y равен -0.00621100
Коэффициент a3 при x*y равен 0.03312600
Коэффициент a4 при x равен -0.46376800
Коэффициент a6 равен 1
 
То есть есть еще одна кривая которая проходит через заданные три точки
это
-0.00621100*y^2+0.03312600*x*y-0.46376800*x+1 = 0
 
Кто желает может проверить. Но уверяю что все правильно.
 
Как частный случай создан пример Окружность по трем точкам построить