1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (8 голосов)

Пересечение прямой и кривой второго порядка

 

Элементы кривой 2 порядка или координаты
x^2+ y^2+ xy+ x+ y+ =0
Элементы прямой линии

 

Уравнение кривой второго порядка
Уравнение кривой
Уравнение прямой к угловым коэффициентом
Уравнение прямой
Координаты пересечения кривой и прямой
Первая координата
Вторая координата

 

Продолжим наш анализ кривых второго порядка и сейчас  мы готовы представить сервис который позволяет рассчитывать  точки пересечения произвольной прямой и произвольно заданной кривой второго порядка. Таким образом бот позволяет рассчитывать точки пересечения:

 

- прямой и параболы

- прямой и эллипса

- прямой и окружности

- прямой и гиперболы

- прямой и параболы

Для тех посетителей  кому интересно, сообщаем общую формулу расчета точек пересечения кривой второго порядка и прямой

Если прямая  представлена в виде уравнение прямой , а кривая в виде кривая второго порядка  то решая квадратное уравнение вида

квадратное уравнение

где 

первый член квадратного уравнения

второй член квадратного уравнения

третий член квадратного уравнения

получаем две точки абсцисс абсцисса, которые являются корнями квадратного уравнения.

поставив эти значения в уравнение прямой уравнение прямой, мы определяем две точки ординат и таким образом у нас есть пара точек  пересечения прямой и кривой.

Синтаксис для XMPP клиентов

kp2_line параметры прямой;kp2=коэффициенты кривой через пробел

параметры прямой -  могут быть различны. лучше по этому вопросы прочитать статью Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

коэффициенты кривой  - формат  такой же как в статье Расчет кривых второго порядка на плоскости

Примеры использования

Найти точки пересечения  прямой проходящей через точки (0, 2) и (-3,-8) и параболы заданная уравнением уравнение параболы

Прямая задана  двумя точками. Обратившись к вышеупомянутной  статье по расчету прямой линии мы видим,  что параметры линии надо записать так

параметры прямой через точки

а коэффициенты кривой второго порядка  имеют вид  3 0 0 -8 -1 3

Теперь мы записываем  все данные

kp2_line xa=0;ya=2;xb=-3;yb=-8;kp2=3 00 -8 -1 3

и получаем результат

Точки пересечения кривой второго порядка вида
( 3 ) x^2 + ( -8 ) x + ( -1 ) y + ( 3 )   = 0
и прямой вида
y = 3.3333333333333*x + (2)
Первая координата x = 3.6874 y = 14.291333333333
Вторая координата x = 0.0904 y = 2.3013333333333

 


Определить координаты пересечения прямой  уравнение прямой общего видаи окружности уравнение окружности

Для решения этой задачи нам придется  раскрыть скобки   для уравнения окружности

результат будет вот такой  преобразование уравнения окружности

Таким образом коэффициенты кривой будут вот такие

1 1 0 -6 2 -15

а коэффиценты прямой запишем вот так

A=2;B=5;C=-8

и общий вид запроса будет вот такой

kp2_line A=2;B=5;C=-8;kp2=1 1 0 -6 2 -15

Ответ бота

Точки пересечения кривой второго порядка вида
( 1 ) x^2 + ( 1 ) y^2 + ( -6 ) x + ( 2 ) y + ( -15 )   = 0
и прямой вида
y = -0.4*x + (1.6)
Первая координата x = 7.9655 y = -1.5862
Вторая координата x = -1.0000 y = 2
 
Истинность расчетов  легко проверяется  подстановкой в уравнение прямой или окружности

Прямая пересекает ось абсцисс под углом 50 градусов и проходит через точку (2,-1). Определить точки пересечения данной прямой и эллипса который  проходить через три точки (3,-2) (3,1) (-6,-1)

Несмотря на то, что  нет ниодного явного уравнения, бот сможет Вам дать правильный ответ

Для прямой линии известны два параметра это координаты точки и угловой коэффициент.

Угловой коэффициент  связан с углом  к оси абсцисс следующим выражением

связь угла и углового коэффициента где F - это угол в радианах, а k - это угловой коэффициент

тогда зная угол в 50 градусов, угловой коэффициент равен 1.19175359259421

k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1

А для кривой второго порядка  зная, что эллипс может быть выражен  в виде уравнение эллипса

запишем данные таким образом 3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

kp2_line k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1;kp2=3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

Получаем ответ

Точки пересечения кривой второго порядка вида
( 0.022222222 ) x^2 + ( -0.600000000 ) y^2 + ( -0.200000000 ) xy + ( 1 )   = 0
и прямой вида
y = 1.1917535925942*x + (-3.3835071851884)
Первая координата x = 1.4997 y = -1.5962343223749
Вторая координата x = 3.6632 y = 0.98212457520267
 
Удачных расчетов!!