1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.39 (42 голосов)

Угол между часовой и минутной стрелкой

Час и минута разделенные пробелом

 
Угол между стрелками (градусы)

Обратимся опять к школьным задачам и задачам на сообразительность.  Одной из таких задач является узнать, какой угол образуют между собой минутная и часовая стрелка на механических часах в 16 часов 38 минут, или  одна из вариаций - сколько времени будет после начала первых суток, когда часовая и минутная стрелка будут образовывать угол в 70 градусов.

 

Самый простой вопрос, на который  много  людей умудряются  давать неправильный ответ. Какой угол между часовой и минутной стрелкой на часах в 15 часов 15 минут?

Ответ ноль градусов  не явлется правильным ответом :)

Давайте разбираться.

Минутная стрелка за 60 минут совершает полный оборот по циферблату, то есть совершит оборот на 360 градусов. За это же самое время (60 минут) часовая стрелка пройдет путь всего одну двенадцатую часть от окружности, то есть сдвинется на 360/12 = 30 градусов

Давайте считать подробно, какой же угол проходит каждая стрелка от 0 часов и нуля минут?

Насчет минутной  все очень просто. Составляем  пропорцию минуты относятся  к пройденному углу как полный оборот(60 минут) к 360 градусам.

Таким образом пройденный угол минутной стрелкой составит минуты/60*360 = минуты*6

Как результат  вывод  каждая пройденная минута  смещает минутную стрелку на 6 градусов

Отлично! Теперь что  насчет часовой. А принцип тот же самый, только надо время (часы и минуты) привести  к долям часа.

Например 2 часа 30 минут - это 2.5 часа ( 2 часа и его половинка), 8 часов и 15 минут - это 8.25 ( 8 часов и одна четвертинка часа), 11 часов 45 минут - это 11 часов и три четвертинки часа то есть 8.75)

А дальше все просто  такая же пропорция: Час(в виде долей часа) относится пройденному углу  как 12 часов ( за 12 часов ведь часовая стрелка опишет весь циферблат) к 360 градусам.

Таким образом пройденный угол часовой  стрелкой составит часы( в долях часа)*360.12 = часы*30

И как следствие  вывод  каждая пройденный час  смещает часовую стрелку на 30 градусов

Теперь очень легко посчитать угол между стрелками  вычислив разницу между углом минутной и часовой стрелки

угол между стрелками = (час+(минуты /60))*30 -минуты*6

где час+(минуты /60) - это положение часовой стрелки 

Таким образом ответ к задаче: какой же угол составят стрелки когда на часах 15 часов 15 минут, будет следующим:

15 часов 15 минут это равноценно положению стрелок в 3 часа и 15 минут и таким образом угол составит (3+15/60)*30-15*6=7.5 градуса

В принцие можно считать и  так 15.25*30-15*6=367.5 градуса, просто отсюда убираете полные обороты (360 градусов) и получаем тот же самый результат  в 7.5 градуса.

Если же у вас есть потребность  перевести время в текст то пожалуйста ознаомтесь с материалом Время (часы, минуты, секунды) прописью,  а кому часто приходится работать с временными отрезками, складывать минуты и часы, высчитывая простой или наработку на отказ то стоит перейти  сюда Суммирование временных отрезков

По углу между стрелками определить время

Угол, между минутной и часовой стрелкой

 
Время на циферблате когда будет заданный угол

Это задача сложнее, так как мы решать будем в общем виде, то есть определять все пары (час и минута) когда они будут образовывать заданный угол.

 

Итак, напомним. Если время выражено в виде HH:MM (час:минута) то угол между стрелками выражается формулой

угол между стрелками на циферблате

Теперь, если обозначим угол буквой U  и перевести все в альтернативный вид, то получим следующую формулу

альтернативная формула

Или избавшись от знаменателя, получаем основную формулу связывающая угол между двумя стрелками, и позициями этих стрелок на циферблате.

заметьте, что угол может быть и отрицательным, то есть в пределах часа у нас может  два раза встречаться один и тот же угол, например угол в 7.5 градуса может быть и в 15 часов 15 минут и 15 часов и 17.72727272 минут

Если нам, как в первой задаче был задан угол, то получаем  уравнение с двумя переменными. В принципе оно не решается, если не принять условие что час и минута могут быть только целыми числами.

При  таком условии мы получаем классическое  диофантово уравнение. Решение которого очень простое. Рассматривать мы их пока не будем, а приведем сразу окончательные формулы

HH=4U+11k

MM=22U+60k

где k - произвольное целое число.

Результат часов естественно  берем  по модулю 24, а результат минут по модулю 60

HH=(4U+11k)mod24

Посчитаем все варианты  когда часовая и минутная стрелка совпадают? То есть когда угол между ними равен 0 градусов.

Как минимум мы знаем две таких точки 0 часов и 0 минут и 12 часов дня 0 минут. А остальные??

Создадим таблицу, положений стрелок когда угол  между ними ноль градусов

k Часовая стрелка Минутная стрелка Пояснения
0 0 0 то есть ровно полночь
1 11 60 то есть 12 часов
2 22 0 ОШИБКА!!

 

Упс! на третьей строке  у нас ошибка в 10 часов никак стрелки не совпадают.Это можно убедится взглянув на циферблат. В чём же дело??  Вроде все правильно считали. 

А все дело в том, что в промежутке между 10  и 11 часами, для того что бы минутная и часовая стрелка совпадала, минутная стрелка должна находится где то в дробной части какой то минуты.

Это легко проверить по формуле 2U=60HH-11MM подставив  вместо угла число ноль, а вместо часов число 10

получим, что минутная стрелка будет находится между(!!) делениями 54 и 55 ( совсем точно на позиции 54.545454 минут).

Именно поэтому наши последние формулы не сработали, так как мы подразумевали что часы и минуты числа целые(!).

Задачи, которые встречаются на ЕГЭ

Мы рассмотрим задачи, решения которых есть в интернете, но пойдем другим путем. Возможно это облегчить той части школьников, которые ищут простой и необременительный способ решать задачи.

Ведь чем больше разных вариантов решения задач тем лучше.

Итак, мы знаем только одну формулу  и будем пользоваться только ей.

Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

Рассуждения "решателей" на других интернет-ресурсах  меня немного утомили и запутали . Вот для таких "утомленных" как я, мы решаем эту задачу по другому.

Определим когда в первом (1) часу минутная и часовая стрелка совпадет (угол 0 градусов)? Подставляем в уравнение изветные числа и получаем

2*0=60*1-11MM=60-11М=0

MM=\frac{60}{11}

то есть в 1 час и почти в 5.5 минут.  это раньше чем 1 час 35 минут? Да!  Отлично, значит этот час мы не учитываем в дальнейших расчетах.

Нам надо найти 10-ое совпадение минутной  и часовой стрелки,  начинаем анализировать:

в первый раз часовая стрелка будет в 2 часа и сколько то минут,

во второй раз в 3 часа и сколько минут

...

в восьмой  раз   в 9  часов  и сколько то минут

в девятый раз в 10 часов  и сколько то минут

в девятый раз в 11 часов  и сколько то минут

Теперь осталось найти где будет находится минутная стрелка в 11 часов, так что бы стрелки совпадали

60*11-11MM=660-11М=0

MM=\frac{600}{11}

А теперь умножает 10 раз оборота( а это каждый час) на 60 (перведя в минуты) получим 600 минут. и высчитываем разницу между 60 минутами и 35 минутами ( которые были заданы)

Окончательный ответ получили 625 минут.

Что и требовалось доказать.  Не надо никаких уравнений, пропорций,  ни какая из стрелок с какой скоростью двигалась. Всё это мишура. Достаточно знать  одну формулу.


Более интересная и сложная задача  звучит так.  В 8 часов вечера, угол между часовой и минутной стрелкой составялет 31 градуса . Сколько будет показывать время стрелки, после того как минутная и часовая стрелка образуют прямой угол 5 раз?

Итак в нашей формуле опять известны два из трех параметров 8 и 31 градус. Определяем миунтную стрелку по формуле получим  38 минут.

Когда ближайшее время когда стрелки будут образовывать прямой (90 градусов) угол?

*90=60*8-11MM=480-11MM

MM=\frac{480-180}{11}=27.272727

-90=60*8-11MM=480-11MM

MM=\frac{480+180}{11}=60

То есть в 8 часов 27.27272727 минут это превый прямой угол в этом часе и в 8 часов и 60 минут это второй угол в этом часе.

Первый прямой угол уже прошел относительно заданного времени, поэтому его не считаем.

Первый 90 градусов  в 8 часов 60 минут ( можно сказать что ровно в 9-00) - раз

в 9 часов и сколько то минут  - это два

в 10 часов и сколько минут - это три

еще раз в 10 и сколько минут - это 4-ре, так совпадений в 10 часу два

и в 11 часов и сколько минут это пять.

то есть нам надо посчитать в 11 часу два положения минутной стрелки когда угол равен +90 и -90 градусов. Какое время из этих раньше наступит то и является правильным ответом

Еще проще если  мы воспользуемся ботом. Введем 90 градусов и получим следующую таблицу

Время на циферблате когда будет заданный угол
 
Час Минута
0 16.363636363636363
0 16.363636363636363
1 10.909090909090908
1 21.818181818181816
2 5.454545454545454
2 27.272727272727273
3 0
3 32.72727272727273
4 5.454545454545454
4 38.18181818181818
5 10.909090909090908
5 43.63636363636363
6 16.363636363636363
6 49.09090909090909
7 21.818181818181816
7 54.54545454545455
8 27.272727272727273
9  0
9 32.72727272727273
10 5.454545454545453
10 38.18181818181818
11 10.909090909090906
11 43.63636363636363
12 16.36363636363636

то есть в 11 часо 10.90 минут будет как раз пятый раз когда между часовой и минутной  стрелкой вновь образуется прямой угол.

Надеемся данный разбор, поможет Вам  как формулировать задачи для учеников, так и легко решать подобные тесты на сообразительность и в ЕГЭ.

Удачи в расчетах!