Разложения в ряд Фурье периодических несинусоидальных функций.

В этом новом для сайта направлении мы будем рассматривать разложение в ряд Фурье, периодических  несинусоидальных функций.

Разложение в ряд

Явления, происходящие в цепях с несинусоидальными э. д. с. (токами), проще всего поддаются исследованию, если э. д. с. периодически меняющуюся, несинусоидальную  - разложить на сумму постоянной составляющей и ряда из переменных слагающих, состоящего из основной синусоиды, меняющейся с таким же числом периодов, как и заданная кривая, и высших гармонических синусоид, числа периодов которых в 2, 3, 4, 5... раз больше числа периодов основной синусоиды.
 
Фурье показал, что всякую конечную периодическую функцию, полу-чающую одинаковые значения через равные промежутки времени

или

можно разложить в ряд синусоидальных функций

f(t\omega)=A_0+A_1sin(t\omega+\psi_1)+A_2sin(2t\omega+\psi_2)+A_3sin(3t\omega+\psi_3)+.....

где

 - амплитуда постоянной составляющих;

 - основная синусоида

 - амплитуды соответсвующих гармоник

 - фазовые углы составляющих синусоид

Чаще ряд Фурье изображается в виде двойного ряда синусов и косинусов, которые в начале координат не имеют сдвига фаз:

f(x)=A_0+B_1sin(x)+B_2sin(2x)+B_3sin(3x)+.....+C_1cos(x)+C_2cos(2x)+C_3cos(3x)+...

В этих формулах

A_1=\sqrt{B_1^2+C_1^2}

A_2=\sqrt{B_2^2+C_2^2}

A_3=\sqrt{B_3^2+C_3^2}

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс (х), считая от начала первой и второй половины периода, то в разложении отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четных порядков.

Если кривая вдобавок еще симметрична относительно оси ординат (у), проходящей через середину между точками пересечения кривой с осью абсцисс, то в ряду Фурье будут отсутствовать косинусоиды и ряд принимает вид:
 
f(x)=A_1sin(x)+A_3sin(3x)+A_5sin(5x)+.....
 
где амплитуды A_1,A_3,A_5,..... могут быть положительными или отрица¬тельными величинами.
 

Сигнал в виде трапеции

Функция разложения в ряд Фурье будет иметь вид

f(x)=\frac{4A}{\alpha\pi}(sin(\alpha)sin(x)+\frac{1}{3^2}sin(3\alpha)sin(3x)+\frac{1}{5^2}sin(5\alpha)sin(5x)+....)

 

Сигнал в виде прямоугольника

Функция разложения в ряд Фурье будет иметь вид

f(x)=\frac{4A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{3}sin(3x)+\frac{1}{5}sin(5x)+....)

 

Сигнал в виде равнобедренного треугольника cимметричного оси абсцисс

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

f(x)=\frac{8A}{\pi^2}(sin(x)-\frac{1}{3^2}sin(3x)+\frac{1}{5^2}sin(5x)-....)

 

СИГНАЛ В ВИДЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

f(x)=\frac{A}{2}-\frac{4A}{\pi^2}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos(5x)+....)

Сигнал в виде прямоугольного треугольника (первый вариант)

 

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

f(x)=\frac{2A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)+....)

Сигнал в виде прямоугольного треугольника (второй вариант)

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

f(x)=\frac{2A}{\pi}(sin(x)-\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)-....)

Сигнал в виде пилоообразной кривой

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

f(x)=\frac{A}{2}-\frac{A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)+....)

Сигнал в виде короткого прямоугольного импульса

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

f(x)=A(\alpha+\frac{2}{\pi}(sin(\aplha\pi)cos(x)+\frac{1}{2}sin(2\aplha\pi)cos(2x)+\frac{1}{3}sin(3\aplha\pi)cos(3x)+..+\frac{1}{n}sin(n\aplha\pi)cos(nx)))

Сигнал в виде короткого треугольного импульса

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

f(x)=A(\alpha+\frac{2}{\pi}(sin(\aplha\pi)cos(x)+\frac{1}{2}sin(2\aplha\pi)cos(2x)+\frac{1}{3}sin(3\aplha\pi)cos(3x)+..+\frac{1}{n}sin(n\aplha\pi)cos(nx)))
 
Удачных расчетов!