Название темы, для несведущих людей, может быть немного запутанным, и даже похоже на тафтологическое выражение "масло масленое". На самом деле, под название темы подразумевается разложение факториала на простейшие множители с степенями.
Зачем это надо?
Кто сталкивался с факториалами, знают что уже при значении 20, факториал достигает огромных значений 2432902008176640000
При факториале 100 значение получается еще больше, и возникает резонный вопрос а как можно представить факториал такого числа в более удобной и наглядной форме? Во первых это красиво, а во вторых полезно, так как отвечает еще и на попутно возникающий вопрос, например , сколько двоек/пятерок/семерок в факториале числа 2015?
Что бы решить такую задачу, не надо вычислять факториал от числа 2015, а потом искать число целочисленных делений на тройку например , достаточно знать формулу по который рассчитывается число вхождений.
Итак если число p простое, то количество вхождений в факториал числа m, вычисляется как
\(S=[\cfrac{m}{p}]+[\cfrac{m}{p^2}]+[\cfrac{m}{p^3}]+....[\cfrac{m}{p^k}]\)
где квадратные скобки означают что берётся целая часть от деления.
Самый простой пример, сколько раз входит число 3 в факториал 50?
\(S=[\cfrac{50}{3}]+[\cfrac{50}{9}]+[\cfrac{50}{27}]+[\cfrac{50}{81}]=16+5+1+0=22\)
то есть тройка встречается в числе 50! ровно 22 раза.
Теперь несложно, пробежавшись по всем простым числам от 1 до 50, для каждого из них узнать количество вхождений.
Окончательный ответ, в виде факторизации факториала пятидести будет иметь вид.
![S=[frac{50}{3}]+[frac{50}{9}]+[frac{50}{27}]+[frac{50}{81}]](https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?50!=2^{47}3^{22}5^{12}7^{8}11^{4}13^{3}17^{2}19^{2}23^{2}29*31*37*41*43*47)
Решим еще один пример, часто встречающийся.
На какое количество нулей оканчивается факториал числа 306?
Для решения такой задачи надо знать что 10 это произведение двух простых чисел 2 и 5.
Таким образом узнав количество вхождений пятерки в факториал ( количество вхождений двойки, естественно будет больше), мы узнаем какое количество нулей будет в факториала 306.
Ответ: на 75 нулей будет оканчиваться заданный факториал.
Удачных расчетов!
