1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.50 (1 голос)

Произведение вектора на квадратную матрицу

Элементы матрицы A
Элементы вектора b или c

 

Результат умножения вектора-строки на матрицу с*A
Результат умножения
Результат умножения матрицы на вектор-столбец A*b
Результат умножения

Умножение Вектора на матрицу

Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу - вектор-строкой.

Если A-матрица размера m*n, то вектор столбец b имеет размер n, а вектор строка b имеет размер m.

Таким образом, что бы умножить матрицу на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу, его нужно рассматривать как вектор -строку.

Пример.

Умножить матрицу

\begin{pmatrix} 1+2i & 2+i & 1+3i \\ 2 & 4+2i & 2+5i \end{pmatrix} 

на комплексный вектор

\begin{pmatrix} 2+2i  \\ 1+4i \\ 2+2i \end{pmatrix} 
Получаем результат
Результат умножения матрицы на вектор A*b
Результат умножения
Результат умножения вектора на матрицу b*A
Результат умножения
 
Как видите при неизменной размерности вектора, у нас могут существовать два решения.
Хотелось бы обратить Ваше внимание на то что матрица в первом и втором варианте, несмотря на одинаковые значения, совершенно разные (имеют различную размерность)
 
В первом случае вектор считается как столбец и тогда необходимо  умножать матрицу на вектор, а во втором случае у нас вектор-строка и тогда у нас произведение вектора на матрицу.
 
Данный бот умножает  в том числе  вектора и матрицы которые имею комплексные значения. Создан на основе более полного калькулятора Умножение матриц с комплексными значениями онлайн
 

Свойства умножения матрицы на вектор

 - матрица 
b - вектор столбец 
c - вектор-строка
lyamba - произвольное число
1. Произведение матрицы на сумму векторов-столбцов равна сумме произведений матрицы на каждый из векторов
A(b_1+b_2)=Ab_1+Ab_2
2. Произведение суммы векторов-строк на матрицу  равна сумме произведений векторов на матрицу
(c_1+c_2)A=c_1A+c_2A
3. Общий множитель вектора  можно вынести за пределы произведения матрицы на вектор/вектора на матрицу
(\lambda{c})A=\lambda{(cA)}\\A(\lambda{b})=\lambda{Ab)
4.Произведение вектора-строки на произведение матрицы и вектора столбца, равноценно произведению произведения вектора-строки на матрицу и вектора-столбца.
c(Ab)=(cA)b
 
Удачных расчетов!!