Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу - вектор-строкой.
Если A-матрица размера m*n, то вектор столбец b имеет размер n, а вектор строка b имеет размер m.
Таким образом, что бы умножить матрицу на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу, его нужно рассматривать как вектор -строку.
Пример.
Умножить матрицу
на комплексный вектор
Получаем результат
Результат умножения матрицы на вектор A*b
Результат умножения вектора на матрицу b*A
Как видите при неизменной размерности вектора, у нас могут существовать два решения.
Хотелось бы обратить Ваше внимание на то что матрица в первом и втором варианте, несмотря на одинаковые значения, совершенно разные (имеют различную размерность)
В первом случае вектор считается как столбец и тогда необходимо умножать матрицу на вектор, а во втором случае у нас вектор-строка и тогда у нас произведение вектора на матрицу.
1. Произведение матрицы на сумму векторов-столбцов равна сумме произведений матрицы на каждый из векторов
2. Произведение суммы векторов-строк на матрицу равна сумме произведений векторов на матрицу
3. Общий множитель вектора можно вынести за пределы произведения матрицы на вектор/вектора на матрицу
4.Произведение вектора-строки на произведение матрицы и вектора столбца, равноценно произведению произведения вектора-строки на матрицу и вектора-столбца.